Localizaciones de Bousfield no enriquecidas

Question

Sabemos que siempre que tengamos una localización de Bousfield entre dos categorías modelo simpliciales, esto da lugar a una subcategoría reflexiva en $\infty$ -(o coreflective, dependiendo de la dirección de la localización de Bousfield).

1. Me interesa saber qué ocurre si las categorías modelo en cuestión no son simpliciales, o incluso en el caso intermedio en el que las propias categorías son simpliciales, pero no sabemos que los funtores que componen la localización de Bousfield son simpliciales. ¿Sigue dando esto lugar a una reflexión de $\infty$ -¿Categorías? Al menos, cuando las categorías del modelo son combinatorias.

2. Pregunta relacionada: sabemos por un resultado de Dugger que toda categoría combinatoria de modelos es equivalente en Quillen a una categoría combinatoria de modelos simpliciales. ¿Es esta asignación funtorial? ¿Los funtores y adjuntos entre categorías combinatorias modelo se convierten en funtores y adjuntos simpliciales?

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, pero es demasiado larga para un comentario.

Aquí es un documento relevante. Mazel-Gee demuestra la afirmación popular de que una adjunción de Quillen induce una adjunción sobre subyacentes $\infty$ -categorías con muy pocas suposiciones sobre las categorías del modelo en cuestión.

Creo que se demuestra (o se menciona) en el apéndice (al menos) que al pasar a categorías de homotopía, la co/unidad es la misma que la de la adjunción derivada introducida por Quillen, en particular, en el caso de una localización de Bousfield, la (co)unidad es una equivalencia, y por tanto es una equivalencia también a nivel de $\infty$ -categorías ( $C\to ho(C)$ es conservadora), por lo que también induce una subcategoría reflexiva.

En otras palabras, creo que no se necesita la propiedad ni nada por el estilo.

Para tu pregunta 2, no estoy seguro de la funtorialidad per se, pero las adjunciones de Quillen definitivamente inducen adjunciones de Quillen: eso es porque la teoría universal de homotopía de Dugger satisface alguna propiedad casi universal.

Puede consultar, por ejemplo, las proposiciones 2.3, 5.10 y el teorema 6.3 en El documento de Dugger : suponer $M\rightleftarrows N$ es una adjunción de Quillen, entonces por 6.3 se puede convertir en una adjunción de Quillen $UC/S \rightleftarrows N$ para algunos $C$ y $S$ y luego con la 5.10 se puede elevar a $UC/S \rightleftarrows UD/T$

Preguntar si se puede hacer simplicial es preguntar si 2.3 se puede hacer simplicial, es decir, suponer dado $\gamma : C\to M$ donde $M$ es una categoría modelo simplicial, puede el functor $Re: UC\to M$ de 2.3 se simplifique?

Ahora no estoy totalmente seguro de que la respuesta sea afirmativa, pero supongo que sí si $M$ es bastante agradable. Al menos, Lurie parece indicar algo similar en la última frase de la prueba de A.3.7.6. de Teoría de los topos superiores : "La prueba dada en [19] [el artículo de Dugger] muestra que cuando $\mathbf A$ es una categoría modelo simplicial , entonces $F$ y $G$ pueden ser elegidos como funtores simpliciales" - el contexto no es exactamente el mismo, por lo que no se afirma en HTT, pero sí algo similar.

Ojalá alguien pueda comentar si esto es así (por eso esta respuesta no es una respuesta completa)