Prueba alternativa para el Ejercicio 7, p.62 de Cálculo Avanzado de Patrick M. Fitzpatrick

Question

Demostrar que si $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ es continua, $f(0)>0$ y $f(1)=0$ entonces sale un número $x_0\in(0,1]$ tal que $f(x_0)=0$ y y $f(x)>0$ si $0\leq x<x_0$ es decir, hay un punto más pequeño en el intervalo $\left[0,1\right]$ en la que la función $f$ alcanza el valor $0$ .

De acuerdo, la prueba por contradicción se deduce fácilmente de la suposición de que no existe tal $x_0$ . Pero quiero probar una forma diferente:

$f$ es continua en $0$ Por lo tanto, para $\epsilon=f(0)>0$ existe $\delta$ tal que $\left|f(x)-f(0)\right|<f(0)$ es decir, $0<f(x)<2f(0)$ para $0\leq x<\delta$ . Ahora $\delta<1$ desde $f(1)=0$ por lo que podemos elegir $x_0=\delta$ Por lo tanto $f(x)>0$ si $0\leq x<x_0$ .

Ahora es la parte en la que me he atascado: Tengo la intuición de que debido a nuestra elección de $\epsilon=f(0)$ , $f(0)=1$ y la continuidad de $f$ que $f(x_0)=0$ . Si demostramos esto entonces hemos terminado. Ahora está claro por la continuidad de $f$ que $f(x_0)\geq 0$ pero sí $f(x_0)>0$ ¿Generar una contradicción?

Answer 1

Usted está trabajando con un $\delta$ (si $\delta$ funciona también $\delta/2$ ) por lo que no se puede concluir que $f(x_0)=0$ . Si usted trabajó con el sup de la $\delta$ entonces la prueba podría ser impulsada.

Añadido: Aquí hay una prueba más o menos en la línea que has descrito, que en cierto sentido utiliza el supremum de la $\delta$ .

Dejemos que $S$ sea el conjunto de todos los $x$ en nuestro intervalo tal que $f(t)\gt 0$ para todos $t$ con $0< t< x$ . Entonces $S$ es no vacía y está acotada por encima, por lo que tiene un supremum $x_0$ . Si $x_0=1$ estamos acabados. Así que supongamos que $x_0\lt 1$ y $f(x_0)\gt 0$ . Entonces, por continuidad, existe un $\epsilon$ tal que $f(t)\gt 0$ para todos $t$ con $x_0\lt t\lt x_0+\epsilon$ , contradiciendo el hecho de que $x_0$ es el sumo de $S$ .