Sobre la conjetura de que $1-\frac 13 + \frac 16 +\frac 1{10} -\frac 1{15}+\cdots = 1\frac 19$

Question

Conjetura:

$$1-\frac 13 + \frac 16 +\frac 1{10} -\frac 1{15}+\cdots = 1\frac 19$$ donde el patrón de los signos es $+,-,+,+,-,+,+,+,-,\cdots$ y los denominadores son los números triangulares.

Sea lo que sea que esta serie converge (si lo hace), converge muy lentamente. Estuve en mi calculadora haciendo esto manualmente para horas (eventualmente usando dos a la vez) y, a menos que me haya equivocado en algún punto, parece que esto se aproxima $10/9$ .

Dado el patrón de los signos, no creo que haya una forma de escribir esto usando la notación de suma. Si pudiera, entonces iría directamente a Wolfram Alpha. Pero, ¿se puede demostrar que esta serie es convergente o divergente sólo con el cálculo a mano?

Gracias.

Answer 1

Su serie puede escribirse como \begin{align} S&=1-\frac 13 + \frac 16 +\frac 1{10} -\frac 1{15}+\cdots \\ &=\left( 1+\frac 13 + \frac 16 +\frac 1{10} +\frac 1{15}+\cdots\right)-2\left(\frac 13+\frac 1{15}+\cdots\right) \end{align} donde ambas series en la expresión convergen, la primera es igual $2$ (suma de números triangulares recíprocos), la segunda es $\frac{4}{9}$ (cada término es recíproco de $n(n+3)/2$ -número triangular). Algebraicamente $$ S_1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+1)}=2,S_2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{4}{9}, $$ ambas series pueden calcularse por telescopia (véase también Hallar la suma de infinitas series anarmónicas(?) ). Así que el resultado es $$ S_1-2S_2=2-2\frac{4}{9}=\frac{10}{9}. $$

Answer 2

Los valores absolutos de los términos están dominados por 2 / n ^ 2 (2 > 1, 1/2 > 1/3, 2/9 > 1/6, y así sucesivamente). La suma de 2 / n ^ 2 es pi ^ 2 / 3 (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem ). Por lo tanto, es convergente.