Evaluación de la integral con ayuda de las transformadas de Laplace

Question

Me he encontrado con una integral que hay que resolver por el método de la transformada de Laplace. $$\int_0^{\infty} \frac{\sin^2{x}}{x^2}$$ Mi enfoque dejar $f(t) = \sin^{2}t$ y $$\sin^{2}t = \frac{1-\cos2t}{2}$$ también sabemos por las propiedades de las transformadas de Laplace $$\frac{\mathcal{L}{f(t)}}{t} = \int_s^\infty F(s) ds$$ así que $$\mathcal{L}\left[\frac{1-\cos2t}{2}\right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{s} - \frac{s}{s^2+4} \right]$$ ahora, $$\mathcal{L}\left[\frac{1-\cos2t}{2t}\right] = \frac{1}{2}\int_s^\infty \left(\frac{1}{s} -\frac{s}{s^2+4} \right) ds$$ después de integrar $$\mathcal{L} \left[\frac{1-cos2t}{2t}\right]= \frac{1}{2}\left[\ln(s) - \frac{\ln(s^2+4)}{2}\right]\big{|}_s^\infty$$ $$\mathcal{L}\left[\frac{1-\cos2t}{2t}\right] =\frac{1}{2} \left[\ln(\frac{s}{(s^2+4)^{1/2}})\right] \big{|}_s^\infty$$ pero en este punto la integral se vuelve indefinida, ¿Cómo puedo abordar esta cuestión ya que tiene que ser resuelto por el método de Transformación de Laplace Se agradecen las sugerencias

Answer 1

En primer lugar, falta un $2$ en el denominador de $\frac{1-\cos 2t}{t}$ . ¿Supongo que es un error tipográfico? Siguiente, $$\mathcal{L}\left[\frac{1-\cos2t}{2t}\right] = \frac{1}{2}\int_0^\infty \left(\frac{1}{s} -\frac{s}{s^2+4} \right) ds$$ no puede ser cierto porque el lado derecho es posiblemente un número (la integral realmente diverge) mientras que el lado izquierdo es una función. Lo que tenemos en su lugar es $$\mathcal{L}\left[\frac{\sin^2 t}{t}\right]=\mathcal{L}\left[\frac{1-\cos2t}{2t}\right]=\frac 12\int_s^{\infty}\left(\frac 1y-\frac{y}{y^2+4}\right)dy=\frac 14\log\frac{s^2+4}{s^2}$$ Ahora, si dejamos que $g(t)=\sin^2 t/t$ hemos encontrado $\mathcal{L}[g(t)]$ . Así que $$\int_0^{\infty}\frac{\sin^2 x}{x^2}dx=\int_0^{\infty}\frac{g(x)}{x}dx=\frac 14\int_0^{\infty}\log\frac{p^2+4}{p^2}dp$$ ¿Puede continuar desde aquí? Utilice la integración por partes.