Utilice las consideraciones de simetría y de función impar/par para encontrar la serie de Fourier de $f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ en $[-\pi,\pi]$

Question

Demuestre que la serie de Fourier de $f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ para $-\pi\lt x \lt \pi$ viene dada por $$f(x)=\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cos(nx)}{4n^2 - 1}$$

Donde la serie trigonométrica de Fourier viene dada por

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$$

Utilizando $$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x/2)dx \\ a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x/2)\cos(n x)dx,\;\; n \ge 1 \\ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x/2)\sin(n x)dx=0,\;\; n \ge 1.$$

$b_n=0\,\forall \,n$ y $a_n$ se encuentra a través de la identidad trigonométrica $$\cos(x/2)\cos(n x)=\frac{1}{2}\{\cos(x/2+n x)+\cos(x/2-n x)\} \\ $$

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Utilizando el hecho de que $\int_{-\pi}^{\pi}e(x)dx=2\int_{0}^{\pi}e(x)$ para una función par $e(x)$ sobre un intervalo simétrico sobre el origen.

$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x/2)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x/2)dx=\frac{4}{\pi}\sin\left(\frac{x}{2}\right)\bigg\lvert_0^\pi=\frac{4}{\pi}$$

Así que $\dfrac{a_0}{2}$ es de hecho $\dfrac{2}{\pi}$ según sea necesario.

Aplicando una lógica similar para obtener el $a_n$

$$\begin{align}a_n &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\{\cos(x/2+n x)+\cos(x/2-n x)\}dx\\&=\frac{2}{2\pi}\int_0^{\pi}\cos(x/2+n x)dx+\frac{2}{2\pi}\int_0^{\pi}\cos(x/2-n x)dx\tag{1}\\&=\frac{1}{\pi}\left.\left\{\frac{\sin(x/2+nx)}{1/2+n}+\frac{\sin(x/2-nx)}{1/2-n}\right\}\right|_{x=0}^{\pi}\\&=\frac{1}{\pi}\left.\left\{\frac{\sin(\pi/2+n \pi )}{1/2+n}+\frac{\sin(\pi/2-n \pi)}{1/2-n}\right\}\right.\\&=\frac{2}{\pi}\left.\left\{\frac{\sin(\pi/2+n \pi )}{2n+1}+\frac{\sin(n \pi-\pi/2)}{2n-1}\right\}\right.\tag{2}\end{align}$$

En la última línea he utilizado el hecho de que $\sin(n \pi-\pi/2)=-\sin(\pi/2-n \pi)$

En este punto me cuesta continuar el cálculo pero pensando en la gráfica del seno observo que $\sin(\pi/2+n \pi )=(-1)^{n+1}$ y que $\sin(n \pi-\pi/2 )=(-1)^{n+2}$ para los enteros $n\ge 1$ .

Sustituyendo esto en $(2)$

$$\begin{align}\frac{2}{\pi}\left.\left\{\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}+\frac{(-1)^{n+2}}{2n-1}\right\}\right.&=\frac{2}{\pi}\left.\left\{\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}-\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}\right\}\right.\\&=\frac{4}{\pi}(-1)^{n+1}\frac{1}{4n^2-1}\end{align}$$

Esto llevará a la respuesta correcta, pero no quiero lograr la a la derecha respuesta por accidente, así que la publico aquí para verificarla.

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Así que mis preguntas sobre esta prueba son:

En $(1)$ Hice uso de $\int_{-\pi}^{\pi}e(x)dx=2\int_{0}^{\pi}e(x)$ y he asumido que el integrando es uniforme para todo $n$ . ¿Esta suposición es correcta?

De esa misma ecuación en $(1)$ Podría haber escrito $\frac{2}{2\pi}\int_0^{\pi}\cos(nx-x/2)dx$ en lugar de $\frac{2}{2\pi}\int_0^{\pi}\cos(x/2-n x)dx$ ya que el coseno es una función par. Pero es no incluso en el intervalo para el que estoy integrando más, $[0,\pi]$ . Entonces, ¿sigue siendo correcto suponer $\cos(x)=\cos(-x)$ ¿incluso si la función no es uniforme en ese intervalo?

Por último, ¿hay algo más en esta prueba?

Muchas gracias.

Answer 1

Yo asumiría que " $\int_{-\pi}^{\pi}e(x)dx=\int_{0}^{\pi}e(x)$ " es una errata. La expresión correcta es $$ \int_{-\pi}^{\pi}e(x)dx=\color{red}2\int_{0}^{\pi}e(x)dx, $$ que obviamente también se utilizó en los cálculos. Todo lo demás estaba bien. También se refiere a sus preguntas: sí, es correcto utilizar las propiedades de las funciones (como $f(-x)=f(x)$ ) independiente del intervalo de integración.

Answer 2

De hecho, podemos generalizar este resultado.

Teorema: Para algunos verdaderos $\alpha\not\in \Bbb Z$ definimos $$f(x)=\cos\alpha x$$ Entonces para $|x|<\pi$ : $$f(x)=\frac{\sin\pi\alpha}{\pi\alpha}\left[1+2\alpha^2\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^n}{\alpha^2-n^2}\cos nx\right]$$

Prueba:

Recordamos que para $|x|<\pi$ $$f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n\geq1}a_n\cos nx+b_n\sin nx$$ Donde $$a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\,dx\\ b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\,dx\\ a_0:=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx$$ Así que empezamos con $$a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi \cos(\alpha x)dx=\frac2\pi\int_0^\pi\cos(\alpha x)dx=\frac2{\pi \alpha}\sin\pi\alpha$$ Así que $$f(x)=\frac{\sin\pi\alpha}{\pi \alpha}+\sum_{n\geq1}a_n\cos nx+b_n\sin nx$$ A continuación, empezamos a calcular $$b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi\cos(\alpha x)\sin(nx)dx$$ Configurar $x=-u$ tenemos que $$b_n=\frac1\pi\int_{\pi}^{-\pi}\cos(\alpha u)\sin(nu)du=-b_n$$ Por lo tanto, $$b_n=0$$ Lo que da $$f(x)=\frac{\sin\pi\alpha}{\pi \alpha}+\sum_{n\geq1}a_n\cos nx$$ A continuación, calculamos $$a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi\cos(\alpha x)\cos(nx)dx$$ utilizando la simetría de $\cos$ sobre $x=0$ , dando $$a_n=\frac2\pi\int_0^\pi \cos(\alpha x)\cos(nx)dx$$ entonces usando $2\cos(a)\cos(b)=\cos(a+b)+\cos(a-b)$ obtenemos $$a_n=\frac1\pi\int_0^\pi\cos[(\alpha+n)x]dx+\frac1\pi\int_0^\pi\cos[(\alpha-n)x]dx$$ $$\pi a_n=\frac{\sin[(\alpha+n)\pi]}{\alpha+n}+\frac{\sin[(\alpha-n)\pi]}{\alpha-n}$$ Entonces, denotando $$s_1=\sin\pi\alpha\\ c_1=\cos\pi\alpha\\ s_2=\sin\pi n=0 \\c_2=\cos\pi n=(-1)^n$$ Tenemos (desde el $\sin$ fórmulas de suma y resta de ángulos) $$\sin[(\alpha+n)\pi]=\sin[(\alpha-n)\pi]=s_1c_2=(-1)^n\sin\pi\alpha$$ Así que efectivamente tenemos que $$\pi a_n=(-1)^n\frac{2\alpha\sin\pi\alpha}{\alpha^2-n^2}$$ Y después de un poco de álgebra, nuestro resultado deseado: $$f(x)=\frac{\sin\pi\alpha}{\pi\alpha}\left[1+2\alpha^2\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^n}{\alpha^2-n^2}\cos nx\right]$$