En lo que sigue, denoto el espacio de polinomios de grado $N$ en $\mathbb{R}^3$ como $P(\mathbb{R}^3)$ . El subespacio de polinomios homogéneos se llamará $P_N (\mathbb{R}^3)$ . Denoto las variables en $\mathbb{R}^3$ como $x_1, x_2, x_3$ . Ahora, consideremos la acción habitual de $SO(3)$ en $\mathbb{R}^3$ : $$\star : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x3 \end{pmatrix} \mapsto O \star \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix},$$
$O \in SO(3)$ es decir, donde $\star$ es simplemente una multiplicación matricial. Esto me da una representación $\pi$ de $SO(3)$ en $P (\mathbb{R}^3)$ : $$(\pi (O) p) (x) = p(O^{-1} \star x) = p(O^{-1} x),$$ con $O \in SO(3), p \in P$ y $x \in \mathbb{R}^3$ .
La restricción de $\pi$ a $P_N (\mathbb{R}^3)$ se denota $\pi_N$ .
Me piden que calcule el carácter $\chi_N$ de $\pi_N$ para una determinada matriz. En concreto, la matriz
$$g = \begin{pmatrix} \cos (\theta) & - \sin (\theta) & 0 \\ \sin (\theta) & \cos (\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in SO(3).$$
Sé que si tengo una representación de dimensión finita $(\pi, V)$ de algún grupo $G$ , entonces el carácter $\chi_{\pi}$ de una función $G \rightarrow \mathbb{C}$ definido por $\chi_{\pi} (x) = \text{tr} \pi (x)$ , donde $\text{tr}$ es sólo el rastro.
Pero no veo cómo puedo usar esto. ¿Cómo puedo calcular $\chi_N (g) = \chi_{\pi_N}(g) = \text{tr} \pi_N (g)$ ?
