Las constantes normalizadoras preservan la entropía métrica

Question

Supongamos que $\mathcal{F}=\left\{f\in L^2([a,b]): 0<\underline{c}\leq f\leq\overline{c} \right\}$ . Considere la siguiente transformación $$\tilde{\mathcal{F}} := \left\{\frac{f}{\int f d\mu}: f\in \mathcal{F}\right\}$$ Quiere demostrar la afirmación de que $\mathcal{F}$ y $\tilde{\mathcal{F}}$ tienen el $\epsilon$ -Entropía métrica (logaritmo del número de cobertura/embalaje bajo $L_2$ norma) del mismo orden.

Para poner esto en un contexto más concreto, supongamos que $\mathcal{F}$ es un elipsoide de Sobolev, es decir $$\mathcal{F} = \mathcal{E}_k(A) = \left\{f\in L^2([a,b]): f = \sum_{j=0}^\infty \theta_j\phi_j(X), \sum_{j=0}^\infty \theta_j^2j^{2k}< A\right\}$$ Supongamos que $k>1$ y $\phi_j$ están uniformemente acotados de manera que $\mathcal{E}_k(A)$ está uniformemente acotado, digamos por una constante $\rho$ . Podemos ver que una transformación de $\mathcal{E}_k(A)$ , digamos que $$ \tilde{\mathcal{E}}_k(A) := \left\{\frac{f + \rho + 1}{\int f d\mu + \rho + 1}: f\in \mathcal{E}_k(A) \right\}$$ es un subconjunto de $\mathcal{E}_k(A')$ para algunos $A'$ . En algunos trabajos bien publicados (por ejemplo, Yang y Barron 1999, p. 1591-), los autores afirman que para $A$ lo suficientemente grande, $\tilde{\mathcal{E}}_k(A)$ y y $\mathcal{E}_k(A)$ tienen el mismo orden de $L^2$ entropía métrica. En el documento afirman que "es fácil de ver". Si bien puedo "verlo" intuitivamente, todavía no he sido capaz de llegar a una prueba rigurosa. En el artículo de Yang y Barron, también dan algunas otras clases de funciones en las que afirman que se cumple esta propiedad.

Nota 1: para el elipsoide de Sobolev, creo que la propiedad convexa puede desempeñar un papel.

Nota 2: Una dirección es fácil. Considere cualquier $f,g \in\mathcal{F}$ y que $\tilde{f} = f/\int f$ y $\tilde{g} = g/\int g$ . Podemos demostrar que para alguna constante $C$ , $$ \|\tilde{f}-\tilde{g}\|_2 \leq C \|f - g\|_2 $$

La cuestión es, sin embargo, si existe una desigualdad inversa de la forma $\|f - g\|_2\leq C'\|\tilde{f}-\tilde{g}\|_2 $ para alguna constante $C'$ .

Answer 1

Esto no es cierto en general. Por ejemplo, $\underline{c}=1$ , $\overline{c}=2$ , $a=1$ , $b=2$ . Para $n\in\mathbb{N}$ , considere la clase de funciones: $$ \mathcal{F}_n:=\left\{x\mapsto 1+\frac{k}{n}, k\in\{0,\dots,n\}\right\} $$ Para cualquier caso no idéntico $f,g\in \mathcal{F}_n$ tenemos $||f-g||_2\geq 1/n$ . Así, para $\epsilon<1/n$ el número de cobertura es $n+1$ . Sin embargo, $\tilde{\mathcal{F}}=\{x\mapsto 1\}$ que tiene el número de cobertura $1$ .