Por qué $2n \int ^\infty _n \frac{c}{x^2 \log(x)} \sim n \frac{C}{n \log(n)}$ ?

Question

Quiero entender por qué tenemos $$2n \int ^\infty _n \frac{c}{x^2 \log(x)} \operatorname*{\sim}_{n\to\infty} n \frac{C}{n \log(n)}$$ donde $c$ es una constante de normalización.

No consigo entender cómo se elimina la integral.

Answer 1

Como es habitual en este negocio, la regla de L'Hospital es bastante útil:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\int_{n}^{\infty} \frac{dx}{x^2 \log x}}{\frac{1}{n \log n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{-\frac{1}{n^2 \log n}}{-\frac{1}{n^2 \log n} - \frac{1}{n^2 \log^2 n}} = 1.$$

Answer 2

Dada la $n$ en ambos lados y usted utiliza las constantes, su pregunta equivale a preguntar por qué, para alguna constante absoluta $\alpha >0$ tenemos $$\int_n^\infty \frac{dx}{x^2\ln x} \operatorname*{\sim}_{n\to\infty} \frac{\alpha}{n\ln n}$$ Para ver por qué, observemos que, al definir $f$ en $[2,\infty)$ por $f(x)=-\frac{1}{x\ln x}$ tenemos que $f$ es diferenciable y $$f'(x) = \frac{\ln x+1}{x^2\ln^2x}.$$ Ahora bien, como $$\frac{1}{x^2\ln x} \operatorname*{\sim}_{x\to\infty} f'(x)$$ y que la integral $\int_2^\infty \frac{dx}{x^2\ln x}$ converge, entonces los teoremas de comparación de integrales (para integradas positivas) garantizan que la remanentes son equivalentes, es decir $$\int_t^\infty \frac{dx}{x^2\ln x} \operatorname*{\sim}_{t\to\infty} \int_t^\infty f'(x) = -f(t) =\frac{1}{t\ln t}.$$ Esto implica su resultado.

Answer 3

La integración por partes da $$\begin{align} \int_n^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^2\log(x)} &=\frac1{n\log(n)}-\int_n^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^2\log(x)^2}\\ &=\frac1{n\log(n)}+O\!\left(\frac1{\log(n)^2}\int_n^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^2}\right)\\ &=\frac1{n\log(n)}+O\!\left(\frac1{n\log(n)^2}\right)\tag{1} \end{align}$$

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Series asintóticas

La integración por partes da $$\int_n^\infty\frac{(k-1)!\,\mathrm{d}x}{x^2\log(x)^k} =\frac{(k-1)!}{n\log(n)^k}-\int_n^\infty\frac{k!\,\mathrm{d}x}{x^2\log(x)^{k+1}}\tag{2}$$ Iterando $(2)$ rinde $$\int_n^\infty\frac{\,\mathrm{d}x}{x^2\log(x)} =\frac1{n\log(n)}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{k!}{\log(n)^k}+O\!\left(\frac1{n\log(n)^{m+1}}\right)\tag{3}$$