Tamaño de los saltos en los procesos de Itô-Lévy

Question

Estoy tratando de dar sentido a la descomposición de Lévy Itô, en particular, a una nota que he encontrado sobre el tamaño de los saltos.

De la descomposición de Lévy sabemos que cualquier proceso de Lévy es un semimartingale, tal que $$ X_t = b_t + \sigma B_t + \int_0^t\int_{\mathbb R} x \,\hat{N}(dt,dx) $$ donde $B$ es un movimiento browniano iniciado en $0$ y $$ \hat{N}(dt,dx) = \left\{ \begin{array}{ll} N(dt,dx) - \nu(dx)dt & \mbox{if } |x| < R \\ N(dt,dx) & \mbox{if } |x| \geq R \end{array} \right. $$ para algunos $R\in[0,\infty]$

Lo que trato de entender es la siguiente afirmación:

"Si $R = 0$ entonces $\hat{N} = N$ en todas partes, y si $R = \infty$ entonces $\hat{N} = \tilde{N}$ en todas partes" (donde $\tilde{N}$ es la medida aleatoria de Poisson compensada).

Obviamente, esto tiene sentido si uno simplemente se da cuenta de cómo $\hat{N}$ está definido, pero me gustaría tener una idea más intuitiva. En otras palabras, ¿por qué cuando $R = \infty$ tenemos una martingala, y tenemos "algo más" si $R = 0$ ?

¡Gracias a quien se moleste en leer!

Answer 1

Básicamente, es el hecho de que las integrales estocásticas con respecto a una medida aleatoria compensada son martingales mientras que las integrales estocásticas con respecto a una medida aleatoria no compensada no son martingales.

Lo mismo que para los procesos: El proceso de Poisson no es una martingala, pero el proceso de Poisson compensado (o centrado) es una martingala.