Calcular el grupo de Galois de $x^4+9$ en $\mathbb{Q}$ .

Question

Para encontrar el grupo de Galois, primero empecé por encontrar el campo de división:

He sustituido $u=x^2$ y encontramos que las raíces del polinomio son $\sqrt{3}\cdot e^{i\frac{\pi(2k+1)}{4}}$ para $k=\{0,1,2,3\}$ . Por lo tanto, el campo de división es generado por una sola raíz, cuando $k=0$ .

Aplicación de Eisenstein a $(x+1)^4+9=x^4+4x^3+6x^2+4x+10$ con $p=2$ vemos que es irreducible. Por lo tanto, la extensión es de grado $4$ . Ahora bien, el grupo de Galois debe tener orden $4$ y como el polinomio es separable e irreducible, el grupo de Galois debe ser un subgrupo transitivo de $S_4$ . Hay dos subgrupos transitivos de $S_4$ , uno es isomorfo a $Z_2\times Z_2$ y el otro a $Z_4$ .

Para elegir entre esos dos, calculé el discriminante que era $4^4\cdot 3^6$ que es un cuadrado perfecto en $\mathbb{Q}$ . Por lo tanto, el grupo de Galois es un subgrupo de $A_4$ y por lo tanto debe ser isomorfo a $Z_2\times Z_2$ .

¿Es correcta mi prueba? ¿Hay una forma mejor de resolver este problema? Hubiera preferido ver cómo interactúan las raíces, pero no he podido hacerlo.

Answer 1

No veo nada malo en lo que has hecho, pero dices que te interesa un enfoque diferente.

Recordemos que la primitiva $8$ -La raíz de la unidad es $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ , de modo que sus cuatro raíces son $\sqrt{\frac{3}{2}}(\pm 1 \pm i)$ . Un poco de manipulación muestra que el campo de división es sólo $\mathbb{Q}[\sqrt{\frac{3}{2}}, i]$ . Los automorfismos deben ahora intercambiar o fijar $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ y cambiar o arreglar $\pm i$ , por lo que el grupo es efectivamente el grupo de los cuatro. La acción sobre las cuatro raíces de $X^4+9$ es fácil de calcular.