Soluciones de $f(k,s)=0$ como $k\to\infty$

Question

Dejemos que $f(k,s) = D(s) + kN(s)$ donde $D(s)$ y $N(s)$ son polinomios de $s \in \mathbb{C}$ tal que $\text{Deg}(D) = n, \ \text{Deg}(N) = m$ y $n\ge m$ . También $D(s)$ y $N(s)$ no tiene factor común. Encuentra los valores de $s$ tal que $$\lim_{k\to \infty}f(k,s) = 0 \tag{1}$$ Mi intento: Supongamos que $N(s) \not = 0$ . Obviamente, en este caso $\lim_{k\to \infty}f(k,s)$ es divergente para cualquier $s$ . Supongamos ahora que $N(s) = 0$ y tenemos $\lim_{k\to \infty}f(k,s) = D(s)$ . Así que la respuesta es $D(s) = N(s) = 0$ lo cual es imposible ya que $D(s)$ y $N(s)$ no tiene factor común. ¿Qué hay de malo en mi razonamiento?

También es $(1)$ equivalente a encontrar $s$ tal que $f(k,s) = 0$ y luego $\lim_{k \to \infty} s(k)$ ? Quiero decir que primero encontramos las raíces de $f(k,s)$ con respecto a $k$ y ver qué pasa con las raíces cuando $k \to \infty$ .

Editar: La respuesta correcta es la siguiente. Dividir la ecuación $D(s) + kN(s) = 0$ por $k$ y que $k \to \infty$ . Así que tenemos $$\lim_{k \to \infty}(\frac{D(s)}{k} + N(s)) = N(s) = 0$$ No sé por qué mi argumento es defectuoso y si la mencionada equivalencia se mantiene.

Edición 2: Gracias a @Alex Ravsky, resulta que la verdadera pregunta es

¿Cuáles son las soluciones de $f(k,s)=0$ como $k\to\infty$ ?

Answer 1

Si $N$ y $D$ son relativamente primos, entonces $q(s)N(s)+r(s)D(s)=1$ para algunos $q(s),r(s)\in \mathbb{C}[s]$ .

Usando esto, $r(s)f(k,s)$ puede reescribirse como $r(s)f(k,s)=1+(kr(s)-q(s))N(s)$ . Ahora bien, si $N(s)\not =0$ entonces $\lim_{k\rightarrow \infty} q(s)f(k,s)\not =0$ porque $kr(s)-q(s)\not =0$ tomando $k$ lo suficientemente grande para un $s$ . Además, como $k\rightarrow \infty$ para cualquier valor fijo la RHS explota.

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Después de escribir esto, me pregunto por qué está interesado en esta cuestión, ya que la experimentación numérica debería indicar que el polinomio explota.

Answer 2

¿Cuáles son las soluciones de $f(k,s)=0$ como $k\to\infty$ ?

Puede ocurrir que la única raíz $s(k)$ de $f(k,s)$ es $k$ (por ejemplo, cuando $D(s)=s$ y $N(s)=-1$ ), entonces $\lim_{k \to \infty} s(k)=\infty$ .

Pero para desarrollar el argumento de la respuesta propuesta suponemos que existe $R\ge 0$ tal que para cada $k$ la ecuación $f(k,s)=0$ tiene una raíz $s(k)$ contenida en un conjunto $K=\{s\in\Bbb C:|z|\le R\}$ . Entonces, para cualquier $k\ne 0$ tenemos $\frac{D(s(k))}{k} + N(s(k))=0$ . Dado que el conjunto $K$ es compacta y una función $D$ es continua, existe $M>0$ tal que $|f(s)|\le M$ para cada $s\in K$ . Esto es lo que sigue $\lim_{k \to \infty} N(s(k))=0$ . Sea $S=\{s\in K: N(s)=0\}$ .

Podemos describir un comportamiento asintótico de $s(k)$ como sigue. Para cada $\varepsilon>0$ existe naturalmente $k_\varepsilon$ tal que para cualquier $k> k_\varepsilon$ existe $s\in S$ con $|s(k)-s|<\varepsilon$ . En efecto, supongamos para una contradicción que existe $\varepsilon>0$ y una secuencia $(k_n) _{n\in\Bbb N}$ que tiende a infinito, tal que para cada $n$ , $$s(k_n)\in K_\epsilon=\{s\in K: |s(k_n)-s|\ge \varepsilon\mbox{ for each }s\in S\}.$$

Una secuencia $(s(k_n))_{n\in\Bbb N}$ de puntos de un conjunto compacto $K_\epsilon$ tiene una subsecuencia que converge a un punto $s\in K_\epsilon$ . Desde $\lim_{n \to \infty} N(s(k_n))=0$ y la función $N$ es continua, tenemos $N(s)=0$ . Pero entonces $s\in S$ y así que $|s(k_n)-s|<\varepsilon$ para algunos $n$ . Entonces $s(k_n)\not\in K_\varepsilon$ una contradicción.

Actualización. Dejemos que $D(s)=a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\dots+a_0$ y $N(s)=b_ms^n+b_{m-1}s^{n-1}+\dots+b_0$ . Sea $s(k)$ sea una raíz de $f(k,s)$ . Si $N(s(k))=0$ entonces $D(s(k))=0$ , por lo que los polinomios $N(s)$ y $D(s)$ tienen una raíz común, lo cual es imposible. Por lo tanto, $N(s(k))\ne 0$ y $k=-D(s(k))/N(s(k))$ .

Supongamos que existe una secuencia $k_j$ que tiende a infinito, tal que $s(k_j)$ tiende a infinito. Entonces para cada $j$ ,

$$k_j=-\frac{D(s(k_j))}{N(s(k_j))}=\frac{a_n s(k_j)^n+o(|s(k_j)|^n)} {b_m s(k_j)^m+o(|s(k_j)|^m)}=\frac{a_n}{b_m}s(k_j)^{n-m} +o(|s(k_j)^{n-m}|).$$