Sobre la dimensión de intersección de espacios nulos de funciones lineales

Question

En la página 115 del libro de Axler Linear Algebra Done Right (tercera edición) hay un ejercicio (numerado 30). Ver golpe:

Supongamos que $V$ es de dimensión finita y $\phi_1,\dots,\phi_m$ es una lista linealmente independiente en $V'.$ Demostrar que $$\dim\big((\text{null}\phi_1)\cap\cdots\cap(\text{null}\phi_m)\big)=(\dim V)-m.$$

Lo he intentado durante mucho tiempo, pero he fracasado. En el caso de $m=1,$ el resultado es trivial, sólo una consecuencia del Teorema Fundamental de los Mapas Lineales. Pero en el caso de $m=2,$ He probado lo siguiente. Desde $\phi_1, \phi_2$ es linealmente independiente, $$\dim\text{null}(\phi_1)=\dim\text{null}(\phi_2)=\dim V-1.$$ Así, \begin{align*} &\dim \big(\text{null}(\phi_1)\cap \text{null}(\phi_2)\big)\\ =&\dim(\text{null}(\phi_1))+\dim(\text{null}(\phi_2))-\dim\big(\text{null}(\phi_1)+\text{null}(\phi_2)\big)\\ =&\dim V-1+\dim V-1-\dim\big(\text{null}(\phi_1)+\text{null}(\phi_2)\big)\\ \geq &\dim V-1+\dim V-1-\dim V\\ =&\dim -2. \end{align*} Pero cómo mostrar la desigualdad invertida, eso es, $\dim \big(\text{null}(\phi_1)\cap \text{null}(\phi_2)\big)\leq \dim -2?$ Además, parece que el método apenas es válido para $m\geq 3.$ ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Prueba. $\quad$ Considere el mapeo \begin{gather*} f\colon V\to\mathbb{F}^m, \end{gather*} tal que \begin{gather*} f(v)=\big(\phi_1(v),\dots,\phi_m(v)\big) \end{gather*} para todos $v\in V.$ Está claro que $ \text{null} f=\text{null}(\phi_1)\cap\cdots \text{null}(\phi_m).$ En efecto, dejemos que $v\in \text{null}f.$ Entonces $f(v)=0,$ lo que implica que \begin{gather*} \big(\phi_1(v),\dots,\phi_m(v)\big)=0, \end{gather*} y por lo tanto $\phi_j(v)=0$ para $j=1,\dots,m.$ Así que tenemos $v\in \cap_{j=1}^m \text{null}(\phi_j).$ Por lo tanto, hemos demostrado que $ \text{null} f\subset \cap_{j=1}^n \text{null} \phi_j.$ En el otro sentido de la inclusión, supongamos $v\in \cap_{j=1}^m \text{null}(\phi_j).$ Entonces $\phi_j(v)=0$ para todos $j=1,\dots, m.$ Así, $f(v)=0,$ lo que implica que $v\in \text{null} f.$ Por lo tanto, $\cap_{j=1}^m \text{null}(\phi_j)\subset \text{null} f.$ Por lo tanto, $\cap_{j=1}^m \text{null}(\phi_j)= \text{null} f.$

A continuación, demostramos que $\dim \text{range} f=m.$ Dejemos que $v_1,\dots, v_n$ sea una base de $V$ y $e_1,\dots, e_m$ sea la base estándar de $\mathbb{F}^m.$ Entonces \begin{gather*} f(v_k)= \big(\phi_1(v_k),\dots, \phi_m(v_k)\big) = \sum_{j=1}^{m}\phi_j(v_k)e_j. \end{gather*} Así, la matriz de $f$ con respecto a las bases dadas es $A:=\big(\phi_j(v_k)\big)_{m\times n}.$ Por lo tanto, por 3.117 y 3.118 \begin{gather*} \dim \text{range} f=\text{column}\text{ rank }{\mathcal{M}(f)}=\text{row rank } \mathcal{M}(f). \end{gather*} Afirmamos que la lista de filas de $A$ es linealmente independiente. En efecto, dejemos que $a_1,\dots, a_m\in\mathbb{F}.$ Supongamos que $a_1A_{1,\cdot}+\cdots+a_mA_{m,\cdot}=0.$ Eso es, \begin{gather*} a_1\big(\phi_1(v_1),\dots, \phi_1(v_n)\big)+\cdots+a_m\big(\phi_m(v_1),\dots,\phi_m(v_n)\big)=0. \end{gather*} Tenemos \begin{gather*} \big(a_1\phi_1(v_1)+\cdots+a_m\phi_m(v_1),\dots, a_1\phi_1(v_n)+\cdots+a_m\phi_m(v_n)\big)=0. \end{gather*} Así, \begin{gather*} a_1\phi_1(v_j)+\cdots+a_m\phi_m(v_j)=0,\qquad \text{for all $j=1,\dots, n.$} \end{gather*} En particular, \begin{gather*} a_1\phi_1(v_1)+\cdots+a_m\phi_m(v_1)=0.\tag{1} \end{gather*} Porque $\phi_1,\dots, \phi_m$ es linealmente independiente, de (1) se deduce que $a_1=\cdots=a_m=0.$ Así, la lista de filas de $A$ es linealmente independiente. Como resultado, tenemos el rango de fila de $A$ es $m.$ Así, $\dim \text{range} f=m.$ Finalmente, por el Teorema Fundamental de los Mapas Lineales, tenemos \begin{align*} &\dim\big( \text{null}(\phi_1)\cap\cdots\cap \text{null}(\phi_m)\big)=\dim \text{null} f\\ =&\dim V-\dim \text{range} f\\ =&\dim V-m. \end{align*}

Answer 2

Dejemos que $W = \text{null}\:\varphi_{1}\cap\dots\cap \text{nulll}\:\varphi_{m}$ . Tenemos que demostrar que $\text{dim}\:W^0 = m$ . Está claro que $\{\varphi_{1},\dots,\varphi_{m}\}$ es un subconjunto linealmente independiente de $W^{0}$ Así que $\text{dim}\:W^{0}\geq m$ . Se puede demostrar que para cualquier subespacio $U_1$ y $U_2$ de un espacio vectorial de dimensión finita $V$ uno tiene $(U_1\cap U_2)^{0} = U_1^{0}+U_2^{0}$ . Por lo tanto, \begin{align} \text{dim}\:W^0 &= \text{dim}\:(\text{null}\:\varphi_{1}^0+\dots+\text{null}\:\varphi_{m}^{0})\\ &\leq \text{dim}\:\text{null}\:\varphi_{1}^{0}+\text{dim}\:\text{null}\:\varphi_{m}^{0}\\ &= 1+\dots+1\\ &= m. \end{align}