Equivalencia de dos normas en un espacio de Banach

Question

Dejemos que $T\in L(X)$ , donde $T^2=0$ , de tal manera que $X_0$ es un complemento algebraico de $\ker T$ es decir $X=\ker T\bigoplus X_0$ y $X$ es un espacio de Banach para la norma $||.||$ Ahora bien, si consideramos la norma $|y+x_0|=||y||+||x_0+\ker T||_{X/\ker T}$ , $y\in \ker T, x_0\in X_0$ Tendremos que $X$ también está completa para esta nueva norma. Ahora estoy tratando de ver que tendremos que estas normas son equivalentes si $X_0$ está cerrado en $X$ en términos de $||.||$

Todavía no he conseguido averiguar por qué $(X,|.|)$ será completa para esta nueva norma, supongamos que tenemos una secuencia de Cauchy en esta nueva norma $y_n+x_n$ donde $y_n\in \ker T$ y $x_n\in X_0$ tendremos que $|y_n+x_n-(y_m+x_m)|=||y_n-y_m||+||x_n-x_m+\ker T||_{X/\ker T}$ por lo que podemos concluir que $y_n$ será una secuencia de Cauchy y como $\ker T$ está cerrado tendremos que $y_n\rightarrow y\in \ker T$ y también tendremos que $x_n$ es una secuencia de Cauchy en $X/\ker T$ y por lo tanto converge a algún $x+\ker T$ ya que este es un espacio de Banach también porque $\ker T$ es cerrado, por lo que tendremos que existe $k_n\in \ker T$ tal que $||x_n+k_n-x||\rightarrow 0$ Ahora no puedo pasar de este punto si pudiera demostrar que el $k_n's$ son una secuencia de cauchy podría terminar el argumento pero sin ella, no veo como hacerlo, cualquier ayuda aquí también es apreciada.

Después de muchos intentos fallidos, mi idea final fue considerar la función $I:(X,||.||)\rightarrow (X,|.|)$ y demostrar que es continua, mostrando que se cerró. Si tenemos que es continua obtenemos que $||x||\leq a|x|, a>0,\forall x\in X$ y entonces, como estamos trabajando con espacios de Banach, podemos utilizar el teorema de la cartografía abierta para concluir que su inversa también está acotada y así obtenemos que son equivalentes. Para demostrar que la función era efectivamente cerrada tenemos que utilizar secuencias y el hecho de que $X_0$ está cerrado.

Ahora mi pregunta es suponiendo que mi prueba funcione, que aún no he averiguado todos los detalles, ¿hay una forma más sencilla de demostrar este resultado, porque todo lo que tenemos que ver es que hay algún $c>0$ de manera que $||.||\leq c|.|$ o $|.|\leq c||.||$ pero no he podido averiguar sin utilizar el hecho de que $I$ sería una función continua entre el $2$ topologías. ¿Alguien tiene alguna idea sobre cómo intentar hacer esto de forma diferente? Gracias de antemano.

Answer 1

Para terminar su argumento de integridad para $(X,|\cdot|)$ :

Directamente de la definición de complemento algebraico se deduce que el mapa cociente

$$q:X_0\to X_{/\ker T}\;,\;\;x_0\mapsto [x_0]$$

es biyectiva. Ahora $[x_n]\to [x]$ en $X_{/\ker T}$ y como el mapa cociente anterior es suryectivo, podemos suponer $x\in X_0$ . Entonces, a partir de la definición de $|\cdot|$ se deduce que $(y_n+x_n)\to (y+x)$ en $(X,|\cdot|)$ .

A su segunda pregunta: Yo también utilizaría el teorema del mapa abierto y no veo la forma de evitarlo. Yo lo enfocaría así:

Una aplicación clásica del teorema del mapa abierto es que si un espacio de banach $(X,\|\cdot\|$ ) es la suma algebraica directa de dos cerrado subespacios $V,W$ entonces la norma $|v+w|_1=\|v\|+\|w\|$ $v\in V, w\in W$ equivale a $\|\cdot\|$ . Además, si $X_0$ es cerrado, de nuevo por el teorema del mapa abierto el mapa cociente definido anteriormente $q$ es un isomorfismo, por lo que en ese caso las dos normas $\|\cdot\|$ y $\|[\,\cdot\,]\|_{X/\ker T}$ en $X_0$ son equivalentes y ahora se pueden combinar estos hechos para demostrar que $\|\cdot\|$ equivale a $|\cdot|$ :

$$X_{\|\cdot\|}\approx \ker T_{\|\cdot\|}\oplus_1{X_0}_{\|\cdot\|}\approx \ker T_{\|\cdot\|}\oplus_1{X_0}_{\|\cdot\|_{X/\ker T}}= X_{|\cdot|}$$

Por otro lado, $X_0$ es siempre un subespacio cerrado de $(X,|\cdot |)$ ya que es isomorfo (de hecho isométrico) al espacio de banach $ X_{/\ker T}$ Así que si $\|\cdot\|$ y $|\cdot|$ son equivalentes, inducen la misma topología, por lo que $X_0$ también está cerrado en $(X,|\cdot|)$ .

Aviso: Sólo utilizamos ese $\ker T$ está cerrado, y no que $T^2=0$ . Espero que esto ayude.