Dejemos que $X$ y $Y$ sean complejos CW. Deseo considerar el espacio de mapeo $\mathbf{map}(X,Y)$ de mapas continuos $X\to Y$ , equipado con la (versión generada compacta de la) topología compacta-abierta. Creo que los componentes del camino y los componentes conectados de este espacio coinciden. (Esto sería cierto si $\mathbf{map}(X,Y)$ fuera un espacio topológico generado por deltas o por números, pero no he podido comprobarlo). (Esto surgió al leer la definición de Lurie de la categoría de homotopía de los espacios en HTT; para que su definición sea la correcta, los componentes de trayectoria de $\mathbf{map}(X,Y)$ debe coincidir con los componentes conectados).
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No, no en general. Por ejemplo, considere lo que sucede si $Y=\{0,1\}$ y $X$ es un espacio discreto infinito. Entonces el espacio de mapeo es simplemente $Y^X$ con la topología del producto, que no está localmente conectada y, por tanto, no está generada por el delta. O bien, considere si $Y=[0,1]$ y $X$ es un espacio discreto incontable. Entonces, el espacio de mapeo es $Y^X$ con la topología del producto, que no es secuencial y, por lo tanto, no se genera en delta.
De forma menos trivial, existen de hecho ejemplos en los que los componentes del camino y los componentes conectados de $\mathbf{map}(X,Y)$ no coinciden. En particular, considere cualquier ejemplo en el que $X$ es un complejo CW contable, $Y$ está conectado, y existe un mapa fantasma $f:X\to Y$ un mapa cuya restricción a cada subcomplejo finito de $X$ es nulo-homotópico pero tal que $f$ no es nulo-homotópico. Escribe $X$ como una unión creciente de subcomplejos finitos $K_n$ . Para cada $n$ podemos encontrar un mapa $g_n:X\to Y$ que coincide con $f$ en $K_n$ pero que es nulo-homotópico. Estos mapas $g_n$ forman una secuencia que converge a $f$ en la topología compacta-abierta, y por tanto también en su $k$ -(ya que una secuencia convergente junto con su límite forma un conjunto compacto). Por lo tanto, $f$ está en el cierre del componente de trayectoria de $\mathbf{map}(X,Y)$ que consiste en mapas homotópicos nulos, pero no está en ese componente de la ruta, por lo que ese componente de la ruta no es un componente.
Es cierto que $\mathbf{map}(X,Y)$ se genera en delta si $X$ es un finito complejo CW. En ese caso, observe primero que $\mathbf{map}(X,Y)$ es el colímite de $\mathbf{map}(X,K)$ donde $K$ se extiende sobre subcomplejos finitos de $Y$ (ya que todo subconjunto compacto de $Y$ está contenido en un subcomplejo finito), por lo que basta con considerar el caso en que $Y$ también es finito. Entonces $Y$ es un repliegue de un subconjunto abierto $U\subseteq\mathbb{R}^n$ para algunos $n$ y la topología de $\mathbf{map}(X,Y)$ es simplemente la topología de convergencia uniforme con respecto a la métrica en $Y$ inducida a partir de la métrica euclidiana. Ahora, para cualquier $f:X\to Y$ y cualquier $g:X\to Y$ lo suficientemente cerca de $f$ la homotopía lineal de $f$ a $g$ está contenida en $U$ . Además, si $g$ está lo suficientemente cerca de $f$ cada etapa de la composición de esta homotopía lineal con la retracción $U\to Y$ está cerca de $f$ (ya que la retracción es uniformemente continua en cualquier conjunto compacto). Es decir, para cualquier vecindad $V\subseteq \mathbf{map}(X,Y)$ de $f$ hay un vecindario $W\subseteq V$ de $f$ tal que cada elemento de $W$ está conectado a $f$ por un camino en $V$ . Esta condición, junto con la posibilidad de contar por primera vez con $\mathbf{map}(X,Y)$ implica que es generada por el delta (mediante una pequeña modificación del argumento para $1\Rightarrow 2$ aquí ).
