La diferencia en los dos órdenes es un signo menos, y se trata de una convención humana arbitraria para etiquetar los campos magnéticos mediante vectores.
Cuando tienes una corriente fluyendo en una espira, el campo magnético producido en el centro de la espira es, por convención, la dirección de tu pulgar cuando pones los dedos alrededor de la espira. Cuando tienes una corriente y un campo, si pones el pulgar en la dirección de la corriente, y los dedos en la dirección del campo, obtienes la fuerza. Esto resuelve la ambigüedad de signos por la que preguntabas.
Estas definiciones requieren una mano para definirlas, por lo que no son invariables a la reflexión izquierda-derecha. Pero los fenómenos experimentales son invariantes bajo la reflexión izquierda-derecha. Si se quiere describir el electromagnetismo con cantidades naturales que son obviamente invariantes a la izquierda-derecha, se puede utilizar el tensor magnético, que se define como un tensor antisimétrico con componentes:
$$ B_{ij} = \epsilon_{ijk} B_k $$
Cuando la suma está implícita, y el $\epsilon$ es el tensor de 3 índices totalmente antisimétrico. Este punto de vista representa un campo magnético en la dirección z como un pequeño remolino en el plano x-y, con una orientación. Cuando se tiene una corriente, ésta se gira en la dirección del vaivén. Esta es la descripción manifiestamente invariante izquierda-derecha del electromagnetismo, que no se presenta en los libros elementales.
Es automático en la relatividad, ya que el campo B está en las partes espacio-espaciales del tensor de Faraday, por lo que automáticamente tiene esta descripción correcta.
