Demostrando que $L^p \subset L^q$ cuando $1 \le q \le p$

Question

Dejemos que $(E,\mathcal{F},\mu)$ sea un espacio de medidas tal que $\mu(E)=1$ y que $L^p=L^p(E, \mathcal{F},\mu)$ . Demostrar que $L^p \subset L^q\text{ if } 1 \le q \le p$ .

Dejo que $f \in L^p$ . Entonces $(\int_E |f|^pd\mu)^{1/p} < \infty$ . Para demostrar que $f \in L^q$ Debería demostrar que $(\int_E |f|^q d\mu)^{1/q} < \infty $ pero soy incapaz de hacerlo. He leído en algún sitio que esta prueba se puede hacer utilizando la desigualdad de Holder, pero no he podido hacerlo.

Answer 1

Desde $1 \le q \le p < \infty$ , $\varphi(x) = x^{p/q}$ es una función convexa. Aplicar la desigualdad de Jensen para obtener:

$$ \varphi\left(\int \left|f\right|^q \,d\mu\right) \le \int \varphi\left(\left|f\right|^q\right) \,d\mu $$

Por lo tanto: $$ \left(\int |f|^q \,d\mu\right)^{p/q} \le \int \left|f\right|^p \,d\mu $$

De ello se desprende que $\lVert f \rVert_q \le \lVert f \rVert_p$ y $L^p \subset L^q$ .

Answer 2

Considere la aplicación de la desigualdad de Holder a $$\int_E |f|^q \cdot 1.$$ Tendrás que ser un poco inteligente en la elección de los exponentes conjugados. Como pista: tienes razón en que querrás un término de $\int |f|^p$ . ¿Se te ocurre un exponente que te dé eso?