producto escalar - álgebra lineal

Question

He estado estudiando álgebra lineal y me he enfrentado a esta pregunta:

Tres vectores $p$ , $q$ y $r$ suman a un vector cero y tienen la magnitud de $10$ , $11$ y $15$ respectivamente. Determine el valor de $p\cdot q + q\cdot r + r\cdot p$ .

He llegado a las siguientes conclusiones:

p + q + r = 0 (obvio)

El siguiente sistema de ecuaciones (también obvio):

xp + xq +xr = 0

yp + yq +yr = 0

zp + zq +zr = 0

Y si reemplazo los productos punto del ejercicio, tengo:

10.11.cos(teta1) + 11.15.cos(teta2) + 15.10.cos(teta3)

teta1 = ángulo entre p y q;

teta2 = ángulo entre q y r;

teta3 = ángulo entre r y p.

Me parece que la última ecuación es necesaria, ya que el ejercicio proporciona los valores del módulo. Sin embargo, no veo cómo relacionarlos para conseguir una solución. ¿Podríais ayudarme?

Answer 1

Más fácil: ya que $$(p+q+r)^2=(p+q+r)\cdot(p+q+r)=p^2+q^2+r^2+2(p\cdot q+q\cdot r+r\cdot p),$$ quieres $$\tfrac12((p+q+r)^2-p^2-q^2-r^2)=-\frac12(10^2+11^2+15^2)=-223.$$