¿Es el inverso de una matriz simétrica también simétrico?

Question

Sea $A$ una matriz invertible simétrica, $A^T=A$, $A^{-1}A = A A^{-1} = I$. ¿Se puede demostrar que $A^{-1}$ también es simétrica?

Recuerdo haber visto una prueba similar a esta en mi clase de álgebra lineal, pero ha pasado mucho tiempo y no la puedo encontrar en mi libro de texto.

Answer 1

No puedes usar la cosa que quieres probar en la prueba misma, por lo que las respuestas anteriores están omitiendo algunos pasos. Aquí tienes una prueba más detallada y completa.

Dado que A es no singular y simétrica, muestra que $ A^{-1} = (A^{-1})^T $.

Dado que $A$ es no singular, $A^{-1}$ existe. Dado que $ I = I^T $ y $ AA^{-1} = I $,

$$ AA^{-1} = (AA^{-1})^T. $$

Dado que $ (AB)^T = B^TA^T $,

$$ AA^{-1} = (A^{-1})^TA^T. $$

Dado que $ AA^{-1} = A^{-1}A = I $, reorganizamos el lado izquierdo para obtener

$$ A^{-1}A = (A^{-1})^TA^T. $$

Dado que $A$ es simétrica, $ A = A^T $, y podemos sustituir esto en el lado derecho para obtener

$$ A^{-1}A = (A^{-1})^TA. $$

De aquí, vemos que

$$ A^{-1}A(A^{-1}) = (A^{-1})^TA(A^{-1})$$ $$ A^{-1}I = (A^{-1})^TI $$ $$ A^{-1} = (A^{-1})^T, $$

demostrando así la afirmación.

Answer 2

De hecho, $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$. De hecho, $A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=I$.

Answer 3

Sí.

$$ AB=BA=I\quad\Rightarrow\quad B^TA^T=A^TB^T=I\quad\Rightarrow\quad B^TA=AB^T=I $$

Answer 4

Sí. La inversa $A^{-1}$ de una matriz simétrica invertible también es simétrica:

\begin{align} A & = A^T &&\text{(Suposición: $A$ es simétrica)}\\ \\ A^{-1} & = (A^T)^{-1} &&\text{($A$ invertible $\implies A^T = A$ invertible)}\\ \\ A^{-1} & = (A^{-1})^T &&\text{(Identidad: $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$)} \\ \\ {\large \therefore}\quad \rlap{\text{Si $A$ es simétrica e invertible, entonces $A^{-1}$ es simétrica.}} \end{align}

(Note: The translation preserves the HTML tags)

Answer 5

Otra forma de ver eso es recordar la fórmula $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \mathrm{Adj}(A)^T$$ y notar que la matriz adjunta de una matriz simétrica es simétrica por construcción.