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¿Es el inverso de una matriz simétrica también simétrico?

Sea A una matriz invertible simétrica, AT=A, A1A=AA1=I. ¿Se puede demostrar que A1 también es simétrica?

Recuerdo haber visto una prueba similar a esta en mi clase de álgebra lineal, pero ha pasado mucho tiempo y no la puedo encontrar en mi libro de texto.

186voto

Alex Okrushko Puntos 111

No puedes usar la cosa que quieres probar en la prueba misma, por lo que las respuestas anteriores están omitiendo algunos pasos. Aquí tienes una prueba más detallada y completa.

Dado que A es no singular y simétrica, muestra que A1=(A1)T.

Dado que A es no singular, A1 existe. Dado que I=IT y AA1=I,

AA1=(AA1)T.

Dado que (AB)T=BTAT,

AA1=(A1)TAT.

Dado que AA1=A1A=I, reorganizamos el lado izquierdo para obtener

A1A=(A1)TAT.

Dado que A es simétrica, A=AT, y podemos sustituir esto en el lado derecho para obtener

A1A=(A1)TA.

De aquí, vemos que

A1A(A1)=(A1)TA(A1) A1I=(A1)TI A1=(A1)T,

demostrando así la afirmación.

118voto

Seirios Puntos 19895

De hecho, (AT)1=(A1)T. De hecho, AT(A1)T=(A1A)T=I.

30voto

Jim Petkus Puntos 3447

Sí.

AB=BA=IBTAT=ATBT=IBTA=ABT=I

23voto

Drew Jolesch Puntos 11

Sí. La inversa A1 de una matriz simétrica invertible también es simétrica:

A=AT(Suposición: A es simétrica)A1=(AT)1(A invertible AT=A invertible)A1=(A1)T(Identidad: (AT)1=(A1)T)

(Note: The translation preserves the HTML tags)

22voto

Navid Puntos 21

Otra forma de ver eso es recordar la fórmula A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \mathrm{Adj}(A)^T y notar que la matriz adjunta de una matriz simétrica es simétrica por construcción.

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