Tomemos dos variables aleatorias independientes $X$ y $Y$ del conjunto $\{1,\ldots,n\}$ probabilidad, que $X =i$ Y $Y = j$ es $\frac{1}{n^2}$ . Quiero determinar el valor esperado, así que empecé: $$E[Z] = E[|X-Y|] = \sum_i (a_i) \cdot P(|X-Y|=a_i),$$ (la suma es para $n$ ) pero no sé cómo contar $P(|X-Y|=a_i)$ Porque algunos valores se repiten. ¿Alguien puede dar una indicación?
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Dibuja el $n\times n$ cuadrícula de puntos con coordenadas $(i,j)$ , donde $i$ y $j$ van desde $1$ a $n$ . Los puntos $(x,y)$ tal que $x-y=k$ son los puntos de la línea $x-y=k$ . Para $k=0$ hay $n$ tales puntos, los puntos de la diagonal. En $x-y=1$ Hay $n-1$ puntos, para $x-y=2$ hay $n-2$ puntos, etc. En el caso de los puntos positivos $k$ se trata de los puntos de la retícula que son debajo de la línea diagonal $y=x$ .
Del mismo modo, hay $n-1$ puntos tales que $x-y=-1$ , $n-2$ puntos tales que $x-y=-2$ y así sucesivamente. Estos son los puntos de nuestra cuadrícula por encima de la diagonal $y=x$ .
Así que para $2(n-1)$ puntos, el valor absoluto de la diferencia es $1$ , para $2(n-2)$ puntos el valor absoluto de la diferencia es $2$ y así sucesivamente. Por último, hay $2$ puntos en los que el valor absoluto de la diferencia es $n-1$ . En todos los casos, cada punto tiene una probabilidad $\frac{1}{n^2}$ . De ello se desprende que $$E(|X-Y|)=\frac{2}{n^2}\left[(1)(n-1)+(2)(n-2)+(3)(n-3)+\cdots +(n-1)(n-(n-1)) \right].$$ A continuación obtenemos un forma cerrada para la expresión anterior. Expandiendo, podemos ver que nuestra suma es igual a $$\frac{2}{n^2}n\left[1+2+3+\cdots+n-1\right] -2\left[1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2\right].$$ Por la fórmula habitual de la suma de los enteros consecutivos, y la suma de los enteros consecutivos, obtenemos, después de un poco de álgebra, $$\frac{(n-1)(n+1)}{3n}.$$
Observación: Las fórmulas estándar que se utilizaron para la forma cerrada son $1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}$ y $1^2+2^2+\cdots +k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ .
TenaliRaman
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$$E[Z] = E[|X - Y|] = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n |i - j|P(X = i, Y = j) = \frac{1}{n^2}\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n |i - j| = \frac{2}{n^2}\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i - 1} (i - j) = \frac{2}{n^2}\sum_{i = 1}^{n} i(i - 1) - \frac{i(i - 1)}{2} = \frac{2}{n^2}\sum_{i = 1}^{n}\frac{i(i - 1)}{2} = \frac{1}{n^2}\sum_{i = 1}^{n}i(i - 1) = \frac{1}{n^2}\sum_{i = 1}^{n}i^2 - i = \frac{1}{n^2} \left( \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} - \frac{n(n + 1)}{2} \right) = \frac{(n + 1)}{2n} \left( \frac{2n + 1}{3} - 1 \right) = \frac{(n - 1)(n + 1)}{3n}$$
