Laplaciano en coordenadas elípticas

Question

Estoy intentando calcular el laplaciano en coordenadas elípticas, sólo con la regla de la cadena (porque no conozco otro método para hacerlo), pero he encontrado dificultades para encontrar la expresión correcta. Así que este es el sistema de coordenadas del problema:

\begin{align*} x = cosh(u)cos(v) \\y = sinh(u)sin(v) \end{align*}

con $u>0$ y $ v \in [0,2\pi]$

Así que después de calcular los términos usando la regla de la cadena encontré esta primera expresión para $\partial_u^2 $

\begin{align*} \partial_u^2 (\frac{1}{x^2- cos^2v} + \frac{1}{y^2+ sin^2v}) \end{align*}

He intentado varias formas de simplificar esto, pero ninguna me ha funcionado. Se supone que se encuentra la siguiente expresión:

\begin{align*} \partial_u^2 (\frac{1}{sinh^2u} + \frac{1}{sin^2v}) \end{align*}

¿Puede decir si la expresión que he encontrado es correcta? si es así ¿puede ayudarme a simplificar esto?

Answer 1

Aquí hay un truco Llama a ${\bf r} = x \hat{x} + y\hat{y}$ y calcular los vectores

\begin{eqnarray} \frac{\partial {\bf r}}{\partial u} &=& \cos v \sinh u \hat{x} + \sin v\cosh u \hat{y} \\ \frac{\partial {\bf r}}{\partial v} &=& -\sin v \cosh u \hat{x} + \cos v\sinh u \hat{y} \tag{1} \end{eqnarray}

Ahora calcula las magnitudes de cada vector

\begin{eqnarray} h_u &=& \left|\frac{\partial {\bf r}}{\partial u} \right| = [ \sin^2 v \cosh^2 u + \cos^2 v \sinh^2 u]^{1/2} \\ &=& [\sin^2 v \cosh^2 u + \cos^2 v(\cosh^2u - 1)]^{1/2} \\ &=& [\cosh^2 u - \cos^ v]^{1/2} = h_v \tag{2} \end{eqnarray}

Así que tienes

$$ h_u = h_v = [\cosh^2 u - \cos^2 v]^{1/2} \tag{3} $$

El laplaciano en estas coordenadas es

\begin{eqnarray} \nabla^2 \phi &=& \frac{1}{h_u h_v} \frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{h_u h_v}{h_u^2}\frac{\partial \phi}{\partial u}\right) + \frac{1}{h_u h_v} \frac{\partial }{\partial v}\left(\frac{h_u h_v}{h_v^2}\frac{\partial \phi}{\partial v}\right) \\ &=& \frac{1}{\cosh^2 u - \cos^2 v}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial u^2} +\frac{\partial^2 \phi}{\partial v^2} \right) \end{eqnarray}