Error en la solución de una ecuación diferencial separable

Question

He "resuelto" la ecuación diferencial $x'=x^2-1$ hace un par de meses, ahora he comprobado la solución con wolfram y parece que me he equivocado...

Según Wolfram la solución debería ser $x(t)=\displaystyle\frac{1-e^{2(t+C)}}{1+e^{2(t+C)}}$ pero el mío es $x(t)=\displaystyle\frac{1+e^{2(t+C)}}{1-e^{2(t+C)}}$ .

Lo que hice...

$$\frac{dx}{dt}=x^2-1\\t=\int\frac{1}{x^2-1}dx\\=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x+1}dx\\=\frac{1}{2}(\log(x-1)-\log(x+1))-C\\=\log\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}-C\\ \implies \log\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=t+C\\ \implies \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=e^{t+C}\\ \implies \frac{x-1}{x+1}=e^{2(t+C)}\\ \implies x-1=xe^{2(t+C)}+e^{2(t+C)}\\ \implies x(1-e^{2(t+C)})=1+e^{2(t+C)}\\ \implies x=\frac{1+e^{2(t+C)}}{1-e^{2(t+C)}}$$ .

No puedo detectar el error.

Answer 1

Las soluciones $x(t)=\displaystyle\frac{1-e^{2(t+C_1)}}{1+e^{2(t+C_1)}}$ y $x(t)=\displaystyle\frac{1+e^{2(t+C_2)}}{1-e^{2(t+C_2)}}$ son los mismos de hecho, pero con diferentes $C$ . Tenga en cuenta que $C$ puede ser compleja. Con esta forma de escritura tenemos la relación $C_2=C_1+i\pi$

Otra forma equivalente es $x(t)=\displaystyle\frac{1-c_1e^{2t}}{1+c_1e^{2t}}=\displaystyle\frac{1+c_2e^{2t}}{1-c_2e^{2t}}$ donde $c_2=-c_1$