Prueba de que una función es (no) biyectiva si f:A->A es una función inyectiva.

Question

Necesito ayuda para una tarea que estoy tratando de resolver. Deja que $A$ sea un conjunto no vacío y $f:A\rightarrow A$ es una función inyectiva, pero no una función suryectiva.

Dejemos que $g: A\rightarrow A$ sea una función con $g(f(x))=x\forall x\in A$ . Demostrar que $g$ no es biyectiva.

Creo que ya lo he resuelto. Desde $f$ es inyectiva pero no suryente, hay al menos un elemento $y_1$ en el conjunto de destino $A$ que no sea imagen de al menos un elemento de su dominio. Como el dominio y el conjunto de destino es $A$ también hay al menos un elemento $x_1$ en el dominio, que $f$ no se asigna a $y$ . Por lo tanto, $g: A\rightarrow A$ no es suryectiva, ya que el elemento $x_1$ del conjunto de destino $A$ no es una imagen del dominio $A$ , $g(f(x_1))$ no existe. Dado que $g$ no es surjetivo $\Rightarrow g$ no es biyectiva.

Demuestre que hay un inequívoco función biyectiva $h: f[A]\rightarrow A$ con $h(f(x))=x\forall x\in A$ .

Pues no tengo ni idea de cómo resolver esta tarea. El dominio no es $A$ pero $f[A]$ ahora, pero no veo cómo este cambio debería impedir que la función no sea suryectiva como en el primer punto, ya que el conjunto de destino $A$ tiene más elementos que $f[A]$ lo que provocaría el problema de que un elemento se quedara solo. Además, no estoy muy seguro de cómo demostrar que este es el " inequívoco ".

Answer 1

1. La primera prueba es errónea: Cuando dices "[...] también hay al menos un elemento $x$ en el dominio que $f$ no se asigna a $y$ ", es una repetición del hecho de que $f$ no es proyectiva. Además, para pasar de ahí a " $g$ no es sobreyectiva" también es incorrecta. En primer lugar, porque $g$ es efectivamente suryente ( $g(f(x))=x$ para todos $x\in A$ implica que cada $x$ es a imagen y semejanza de $g$ ), segundo $g(f(x))$ existe, independientemente de la hipótesis sobre $g,f$ o cualquier otra cosa. Lo que $g$ no es inyectiva: Supongamos que $g$ es inyectiva, entonces de $g(f(x))=x$ deducimos $g(f(g(x)))=g(x)$ para todos $x$ Así que usando la inyectividad $f(g(x))=x$ y $f$ sería invertible, al contrario de no ser sobreyectiva.

2. Sobre esto, observe que si restringe el codominio de $f$ a $f[A]$ entonces $f$ sigue siendo inyectiva, pero también se convierte en suryectiva, por lo tanto en una biyección. A continuación, hay que demostrar que la inversa de un mapa es única: Piensa en la condición $f(f^{-1}(x))=x$ , si $f$ es inyectiva, ¿cuántos valores pueden $f^{-1}(x)$ para que se cumpla la ecuación anterior?

Answer 2

Una pista: $f:A\to[A]$ es biyectiva, por lo que tiene una función inversa. Utilice $h=f^{-1}$ .