¿Está bien esta prueba sobre subgrupos normales y grupos cocientes?

Question

He probado lo siguiente:

Dejemos que $N$ sea un subgrupo normal de $G$ y que $H$ sea un subgrupo de $G$ . Si $N$ es un subgrupo de $H$ demostrar que $H/N$ es un subgrupo normal de $G/N$ si y sólo si $H$ es un subgrupo normal de $G$ .

Por favor, ¿podría alguien comprobar mi prueba y decirme si es correcta?

Prueba:

$\implies$ : Dejemos que $H$ ser normal en $G$ . Entonces $gH = Hg$ para todos $g \in G$ . Consideremos un $hN \in H/N$ y una arbitraria $gN \in G/N$ . Entonces

$$ gN hN g^{-1}N = ghg^{-1}NNN = ghg^{-1}N = h' N \in H/N$$

donde la última igualdad se deduce porque $H$ es normal.

$\Longleftarrow$ : Supongamos ahora que $H/N$ es normal en $G/N$ para que $gN hN g^{-1}N = h' N$ .

Dejemos que $h \in H$ y $g\in G$ y que $e$ sea la identidad. Entonces

$$ ghg^{-1} = gh nn^{-1}g^{-1}= gn h (gn)^{-1} = gn he (gn)^{-1} = h'n'$$

para algunos $n' \in N$ y $h' \in H$ . La última igualdad se debe a que $he \in H/N$ y $H/N$ es normal en $G/N$ .

Answer 1

No es necesario que escribas "N" más de una vez en cada ecuación; si tienes una expresión como hNgN, deberías escribirla simplemente como hgN, ya que sabemos que así es como funciona la multiplicación en un grupo cociente y es mucho más legible. En la segunda parte de tu demostración, parece que has asumido que n conmuta con h, por lo que ghn = gnh, lo que no es cierto en general.

Estoy en mi teléfono, así que dejemos que k sea la inversa de g. Para cualquier n en N, puedes escribir simplemente ghkn = h'n' para algún h' en h y n' en n, por la suposición de normalidad de H/N. Mueve n al otro lado de la ecuación y observa que como N es un subgrupo de H, el elemento del lado derecho es un elemento de H.

Answer 2

Yo no usaría el $gH=Hg$ propiedad, una vez que se ha empleado para demostrar que $G/H$ puede recibir una estructura de grupo bajo $(xH)(yH)=(xy)H$ .

Lo que podemos utilizar es que $\pi\colon G\to G/N$ , $\pi(x)=xN$ es un homomorfismo suryente.

Supongamos que $H$ es normal en $G$ . Sea $g\in G$ y $h\in H$ Entonces $$ \pi(g)\pi(h)\pi(g)^{-1}=\pi(ghg^{-1})\in H/N $$

Supongamos que $H/N$ es normal en $G$ . Sea $g\in G$ y $h\in H$ Entonces $$ \pi(ghg^{-1})=\pi(g)\pi(h)\pi(g)^{-1}\in H/N $$ así que $$ ghg^{-1}\in\pi^{-1}(H/N)=H $$

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La primera parte de su prueba es buena. La segunda parte es errónea, porque no estás diciendo lo que $n$ .

Supongamos que $H/N$ es normal en $G/N$ . Entonces, desde $$ (ghg^{-1})N=(gN)(hN)(g^{-1}N)\in H/N $$ sabemos que $(ghg^{-1})N=h'N$ para algunos $h'\in H$ . Por lo tanto, $$ ghg^{-1}=h'n $$ para algunos $n\in N$ . Desde $N\subseteq H$ tenemos $h'n\in H$ .