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Comportamiento asintótico de la potencia de convolución

Tenemos una función f(t):[0,)R . La convolución de f(t) con ella misma es: (ff)(t)=t0dτf(τ)f(tτ)

Definimos fn(t) como la convolución de f con ella misma n tiempos, también llamado el n la potencia de convolución. Me gustaría entender el gran t comportamiento asintótico de la potencia de convolución de f(t)=sinh(t)t : Creo que fn(t)ett pero no encuentro la forma de probarlo o refutarlo. Tampoco conozco teoremas generales sobre el comportamiento asintótico de las potencias de convolución.

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Maxim Puntos 146

Tenemos F(p)=L[f](p)=12lnp+1p1,L[fn](p)=Fn(p). Deformando el contorno de integración para que discurra por el corte de la rama del logaritmo y aplicando el método de Laplace, obtenemos que la integral de Bromwich es asintóticamente equivalente a la suma de las integrales sobre los segmentos [1ϵi0,1i0] y [1+i0,1ϵ+i0] . Tomando p=1ξ con verdaderos ξ obtenemos Fn(1ξ+i0)Fn(1ξi0)=(12ln|2ξ1|πi2)n(12ln|2ξ1|+πi2)nπn(2)n+1ilnn1ξ,ξ0+,L1[Fn](t)n(2)n0et(1ξ)lnn1ξdξ=n(2)netdn1dan10ξaetξdξ|a=0=n(2)netdn1dan1(Γ(a+1)ta1)|a=0netlnn1t2nt,t (para obtener la mayor potencia de lnt necesitamos diferenciar el ta1 factor n1 veces).

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user1952009 Puntos 81

Para empezar con esos problemas puedes mirar la transformada de Laplace

F(s)=0sinh(t)testdt,2F(s)=0(etet)estdt=1s+11s1,2F(s)=log(s+1)log(s1)+F(2)log(2)=log(1+2s1)+F(2)log(2)

e2tsinh(t)t es integrable por lo que lim y F(s)=\frac12 \log(1+\frac{2}{s-1}), \qquad F(s)^n = \sum_{m=n}^\infty c_{n,m } (s-1)^{-m} Donde el c_{n,m} son los coeficientes de 2^{-n}\log^n(1+2z) en z=0 .

Y como \int_0^\infty t^{m-1}e^t e^{-st}dt = (s-1)^{-m}(m-1)! entonces

f^{*n}(t) =\mathcal{L}^{-1}[F(s)^n](t)=e^t\sum_{m=n}^\infty \frac{c_{n,m}}{(m-1)!} t^{m-1}

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