Probabilidad de coordinación de colores.

Question

Hay $6$ pares de zapatos - $2$ pares de rojo, $2$ pares azul y $2$ pares verdes. $6$ la gente viene y escoge al azar un zapato derecho y otro izquierdo. Cuál es la probabilidad de que ninguna tenga dos zapatos del mismo color?

Lo he intentado de la siguiente manera:

Definimos $A_i:$ como el caso de que el $i^{th}$ persona es de color coordinado, $i=1,2,3,4,5,6$

Entonces debemos encontrar $P(\bigcap_{i=1}^6 A_i^c)$ . Ahora, $$P(\bigcap_{i=1}^6 A_i^c)=P(\bigcup_{i=1}^6 A_i)^c=1-P(\bigcup_{i=1}^6 A_i)$$ y utilizar la igualdad de inclusión-exclusión en $$1-P(\bigcup_{i=1}^6 A_i)$$ Ahora $$P(\bigcup_{i=1}^6 A_i)=\sum_{r=1}^6 (-1)^{r-1}S_r$$ $$ where S_r=\sum_{1\le i_1\le i_2\le....\le i_r} P(\bigcap_{j=1}^r A_{i_j})\quad r=1,2,...,6$$ Pero me cuesta evaluar la $S_r$ cantidades...

Answer 1

$$ \text{where} \ S_r=\sum_{\color{red}{1\leq i_1< i_2<....< i_r\leq 6}} P(\bigcap_{j=1}^r A_{i_j})\quad r=1,2,...,6$$ Pero estoy luchando por evaluar la $S_r$ cantidades...

En mi respuesta me centro en la interpretación de la fórmula.

Primero vea los índices marcados en rojo. Especialmente los signos. Hay que ordenar los conjuntos. En primer lugar tenemos $i_j\in \{1,2,3,4,5,6 \}$ .

Para $r=2$ tenemos las siguientes probabilidades:

$P(A_1 \cap A_2 )+P(A_1 \cap A_3 )+P(A_1 \cap A_4 )+P(A_1 \cap A_5 )+P(A_1 \cap A_6 )+P(A_2 \cap A_3 )$

$+P(A_2 \cap A_4 )+P(A_2 \cap A_5 )+P(A_2 \cap A_5 )+P(A_3 \cap A_4 )+P(A_3 \cap A_5 )+P(A_3 \cap A_6 )$

$+P(A_4 \cap A_5 )+P(A_4 \cap A_6 )+P(A_5 \cap A_6 )$

Verás que el primer índice es siempre menor que el segundo. La notación corta es $$\sum\limits_{i=1}^{5} \sum\limits_{j>i}^6 P(A_i \cap A_j)$$

Para ver cómo calcular el número de combinaciones puedes imaginar una tabla como la siguiente

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1&2&3&4&5&6 \\ \hline 1&&x&x&x&x&x \\ \hline 2 &&&x&x&x&x \\ \hline 3 &&&&x&x&x \\ \hline 4 &&&&&x&x \\ \hline 5 &&&&&&x \\ \hline 6 &&&&&& \\ \hline\end{array}$$

Se cuentan las celdas por encima (o por debajo) de la diagonal. Se puede calcular restando la diagonal del número de todas las celdas y dividiendo el resultado por $2$ : $\frac{n^2-n}{2}=\binom{n}{2}=\binom{6}{2}=15$

Answer 2

Estás dando un gran rodeo al centrarte en las personas. Deberías centrarte en los zapatos.

Editar :

Más explícitamente, considere el primer zapato rojo izquierdo. La probabilidad de que no se empareje con un zapato rojo derecho es $\frac46=\frac23$ .

Para el segundo zapato rojo izquierdo, hay dos posibilidades no equivalentes.

Se puede emparejar con otro zapato derecho del mismo color con el que se emparejó el primer zapato rojo izquierdo, con probabilidad $\frac15$ y sólo entonces $1$ de los restantes $6$ los emparejamientos de color evitan un emparejamiento, para una contribución $\frac15\cdot\frac16$ .

O puede ser emparejado con un zapato derecho del tercer color, con probabilidad $\frac25$ . Entonces podemos elegir uno de los dos zapatos azules izquierdos para emparejarlo con el zapato verde derecho restante y uno de los dos zapatos verdes izquierdos para emparejarlo con el zapato azul derecho restante, y los otros zapatos verdes izquierdos y azules izquierdos pueden ser emparejados con los zapatos rojos derechos en cualquier orden, así $8$ de los restantes $24$ los emparejamientos de zapatos evitan un emparejamiento, para una contribución $\frac25\cdot\frac13$ .

Así, en total, la probabilidad de evitar una coincidencia es

$$ \frac23\left(\frac15\cdot\frac16+\frac25\cdot\frac13\right)=\frac19\;. $$