Si una función g(z) no es diferenciable en ningún sitio, ¿entonces f(g(z)) tampoco es diferenciable en ningún sitio?

Question

Tengo la función $\sin(\bar{z})$ y han demostrado (creo) que $g(z)=\bar{z}$ es diferenciable en ninguna parte. ¿Significa esto que $\sin(\bar{z})$ tampoco es diferenciable?

Answer 1

Pero, en general, no (respecto a la pregunta del título). Para un contraejemplo fácil: tome $f(z)=g(z)=\bar z$ . Entonces $f(g(z))=z$ .

Para su ejemplo particular, $\sin \bar z$ no es $\mathbb{C}$ -Diferenciable en la mayoría de los puntos. Sin embargo, con $z=x+iy$ , $$\sin \bar z = \sin(x-iy) = \sin x \cosh y - i \cos x \sinh y = u + iv.$$ Por lo tanto, $$\begin{align} u'_x &= \cos x \cosh y & u'_y &= \sin x \sinh y \\ v'_x &= \sin x \sinh y & v'_y &= -\cos x \cosh y \end{align}$$ lo que demuestra que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen en los puntos donde $\cos x = 0$ y $\sinh y = 0$ es decir, en los puntos en los que $z = \pm \frac\pi2 + 2\pi k$ . (Estos son exactamente los puntos donde $f'(z) = 0$ .) Desde $u$ y $v$ son $C^1$ , $\sin \bar z$ es de hecho diferenciable en estos puntos.

Te dejo que generalices la idea anterior (lo más fácil a través de las derivadas de Wirtinger).

Answer 2

Creo que sí, si la propia f es holomorfa; supongamos que no, es decir, supongamos $sin (\bar {z})$ es holomorfo en algún conjunto abierto $U$ , entonces considere una inversa local $sin^{-1}$ para $sinz$ solapamiento $U$ que es holomorfa por el teorema de la función inversa, y luego en la superposición, se tiene la composición de dos funciones holomorfas $sinz, sin^{-1}z$ que es holomorfo, pero concuerda con el mapa de conjugación holomorfo en ninguna parte $\bar{z}$ . Este argumento se extiende a cualquier función holomorfa $g(z)$ compuesto con $\bar{z}$

Answer 3

Toma alguna función patológica como: $$f(x) = \begin{cases}1 & \text{$x$ rational} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ Entonces $f$ no es continua en ninguna parte, por lo tanto no es diferenciable en ninguna parte. Lo mismo para $g(x) = \sqrt(2) (1 + f(x))$ que es irracional en todas partes. Entonces $f(g(x)) = 0$ que es diferenciable.