Prueba de transformación de la identidad - ¿Es suficiente para demostrar esta afirmación?

Question

Sea {v $_1$ ,...,v $_n$ } sea una base para un espacio vectorial V y sea T:V $\to$ V sea una transformación lineal. Demostrar que si T(v $_1$ )= v $_1$ ,...,T(v $_n$ )= v $_n$ , entonces T es la tranformación de identidad en V.

Me estoy atascando probando esto porque creo que lo estoy pensando demasiado. ¿Puedo utilizar la definición de una transformación de identidad para demostrarlo? En mi libro de texto la definición se da como cualquier espacio vectorial V, la transformación I:V $\to$ V que mapea cada vector en V a sí mismo se llama la transformación de identidad. Es decir, I(v) = v para todo v en V.

Answer 1

Si $\{v_1,\dots,v_n\}$ es una base para $V$ , entonces cualquier $x\in V$ puede escribirse como $x=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\dots+\alpha_nv_n$ con $\alpha_i\in\mathbb{R}$ . Desde $T$ es lineal, tenemos entonces que \begin{align} T(x) &= T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\dots+\alpha_nv_n) \\ &= \alpha_1T(v_1) +\alpha_2T(v_2)+\dots+\alpha_nT(v_n) \\ &= \alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\dots+\alpha_nv_n = x. \end{align} Así que $T$ mapea cualquier vector $x\in V$  a sí mismo, y es por tanto el operador de identidad.