¿Cómo se encuentra una base para el complemento ortogonal de W dado W?

Question

He estado haciendo un trabajo de Álgebra Lineal para mi curso en la escuela. Sólo quiero tener claro cómo encontrar el complemento ortogonal de un subespacio. La base del subespacio, W se muestra a continuación, compuesto por 3 vectores: $$W = \begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-3\\4\\2\\6\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2\\-2\\3\\5\end{bmatrix}\end{Bmatrix}$$

Me gustaría saber si uno simplemente establece $W*W^T$$=0$ y toma las columnas de la matriz resultante como base del complemento ortogonal de W siempre que se haya realizado una reducción de filas para asegurarse de que las columnas restantes son linealmente independientes.

Tenga en cuenta que he creado un conjunto arbitrario de vectores arriba que no son ortogonales, y por lo tanto si tienen que ser para $W*W^T$$=0$ por favor, indíquelo. Gracias.

Answer 1

Prefiero poner la matriz de esta manera, aquí solo doy un ejemplo muy simple, puedes resolver tu matriz de la misma manera: $$W = \begin{bmatrix} \begin{matrix}1\\0\\0 \end{matrix} \begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix} \begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix} \begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\end{bmatrix} $$

A continuación, encuentre el espacio nulo de W resolviendo $$Wx = 0$$

Obtendrá la base del espacio nulo: $$v = \begin{bmatrix} \begin{matrix}-1\\-1\\-1\\1 \end{matrix} \end{bmatrix}$$

el espacio nulo es salvado por v, $$null(W) = span(v)$$ puedes encontrar fácilmente que el subespacio abarcado por W es ortogonal al subespacio abarcado por v, porque cada base (cada fila de W) es ortogonal a v.

Answer 2

Piensa en un sistema de ecuaciones lineales que quieras resolver y que diga tu vector $\mathbf x$ es ortogonal a $W$ .