Una caracterización para los objetos iniciales

Question

Quiero demostrar lo siguiente:

Dejemos que $c$ sea un objeto de una categoría $C$ . Si el functor $C(c,-): C\rightarrow Set$ es naturalmente isomorfo al functor constante functor $*: C \rightarrow Set$ que envía todos los objetos al conjunto único, entonces $c$ es inicial en $C$ .

Mi intento: Consideremos un isomorfismo natural $\alpha:C(c,-) \cong *$ . Entonces, para cada objeto $x \in C$ y cada par de morfismos $f$ , $g:c \rightrightarrows x$ , $id_1 \circ \alpha_c= \alpha_x\circ C(c,x)(f)$ y $id_1 \circ \alpha_c= \alpha_x\circ C(c,x)(g)$ (conmutatividad cuadrada natural); debido a los componentes de $\alpha$ son isomorfismos $C(c,x)(f) = C(c,x)(g)$ lo que significa que las funciones de poscomposición $f_*, g_*$ son iguales.

Supongo que $C(c,-)$ está lleno, en cuyo caso $f=g$ sería inmediata; pero no pude ver un argumento para demostrar la plenitud de $C(c,-)$ .

Es $C(c,-)$ completo, o hay otro argumento para demostrar el resultado deseado?

Answer 1

Si $\eta: C(c , -) \to *$ es un isomorfismo natural, entonces en particular dado cualquier objeto $d \in C$ tenemos una biyección $\eta_d: C(c , d) \to *(d)$ . Pero este último conjunto tiene un solo elemento. Por lo tanto, para cada objeto $d$ existe un morfismo único $c \to d$ Por lo tanto, por definición $c$ es inicial.

Answer 2

Que $\alpha$ es un isomorfismo natural significa que $\alpha_x\colon C(c,x)\to \operatorname{Map}(*(c),*(x))=\operatorname{Map}(\{*\},\{*\})$ es un isomorfismo en Set En particular $C(c,x)$ es un conjunto único.