No, no podemos utilizar la ecuación de Bezout del algoritmo euclidiano ampliado ya que los UFD no tienen por qué ser euclidianos, por ejemplo en $\rm\:\Bbb Q[x,y],\:$ $\rm\:gcd(x,y) = 1\:$ pero $\rm\: x r + y s = 1\:\Rightarrow\: 0 = 1\:$ mediante la evaluación en $\rm\,x,y=0.$
A continuación se muestran $\,2\,$ pruebas, utilizando $(1)$ gcds, y $(2)$ existencia y unicidad de factorizaciones primarias.
$(1)\ $ Por gcds: $\rm\ \ a\mid ac,bc\Rightarrow a\mid \color{0A0}{(ac,bc)\!\:\smash{\overset{\rm\color{#c00}{DL}}=(\overbrace{a,b}^{\large \approx\, 1}})c^{\phantom{|^{|^|}}}}\!\!\!\Rightarrow a\mid c,\,$ por $\rm\color{#c00}{DL}=$ Ley distributiva gcd
$(2)$ $\rm\ a\mid bc\:$ así que $\rm\:ad = bc\:$ para algunos $\rm\:d.\:$ Por existencia, podemos factorizar los cuatro términos en factores primos. Por unicidad, el mismo conjunto de primos aparece en ambos lados (hasta los factores unitarios / asociados). Así que todos los primos en la factorización de $\rm\:a\:$ también debe aparecer en el lado derecho, necesariamente en la factorización de $\rm\:c,\:$ ya que, por hipótesis, $\rm\:a,b\:$ son coprimas, por lo que no comparten factores primos. Por lo tanto, $\rm\:a\mid c\:$ ya que todos sus factores primos (contando la multiplicidad) se dan en $\rm\:c.\:$ Obsérvese que esta inferencia puede expresarse de forma puramente multi-conjunto: $\rm\: A\cap B = \{\,\},\ \ A \cup D\,=\, B\cup C\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:A\subset C,\:$ donde $\rm\:C =$ conjunto de primos en la única factorización de primos de $\rm\:c,\:$ y de forma similar para $\rm\:A,B,D\,$ (aquí estamos ignorando esencialmente las unidades sustituyendo "igual" por "asociado" o, equivalentemente, trabajando en el monoide multiplicativo reducido obtenida mediante la factorización del grupo unitario).
Nota: $ $ A continuación mostramos cómo la prueba común basada en Bezout de $ $ El lema de Euclides es simplemente un caso especial de $(1),\,$ traduciéndolo sucesivamente al lenguaje de los gcds y de los ideales (principales).
Lemma de Euclides en forma Bezout, forma gcd y forma ideal ${\!\begin{align} Ax\!+\!ay=&\,\color{#c00}1,\,\ A\ \mid\ ab\ \ \ \Rightarrow\, A\ \mid\ b.\ \ \ {\bf Proof}\!:\, A\ \mid\ Ab,ab\, \Rightarrow\, A\,\mid Abx\!\!+\!aby = (\!{\overbrace{Ax\!+\!ay}^{\large\color{#c00} 1}}\!) b = b\\ (A,\ \ \ a)=&\,\color{#c00}1,\,\ A\ \mid\ ab\ \ \ \Rightarrow\, A\ \mid\ b.\ \ \ {\bf Proof}\!:\, A\ \mid\ Ab,ab\, \Rightarrow\, A\,\mid (Ab,\ \ ab) = (A,\ \ \ a)\ \ b =\, b\\ A\!+\!(a)=&\,\color{#c00}1,\,\ A\supseteq\! (ab)\, \Rightarrow\, A \supseteq\! (b).\, {\bf Proof}\!:\, A \supseteq Ab,ab \,\Rightarrow A\supseteq Ab\!+\!(ab)\! =(A\!+\!(a))b =\! (b)\\ A +{\cal A}\ =&\,\color{#c00}1,\,\ A\supseteq {\cal A B}\, \Rightarrow\, A \supseteq\, {\cal B}.\,\ {\bf Proof}\!:\, A\, \supseteq\! A{\cal B},\!{\cal AB}\!\Rightarrow\! A\supseteq A{\cal B}\!+\!\!{\cal AB} =(A+{\cal A}){\cal B} = {\cal B} \end{align}}$
La última forma muestra que la prueba funciona de forma más general para ideales coprimos (es decir, comaximales) $\ A,\, {\cal A},\ $ es decir $\ A+{\cal A}= 1. $ En la segunda prueba para números enteros, podemos leer $\,(A,a)\,$ ya sea como gcd o como ideal. Leído como gcd la prueba emplea el propiedad universal del gcd $\, d\mid m,n\iff d\mid (m,n)\,$ y el ley distributiva gcd $\,(Ab,ab) = (A,a)b.\,$ En la primera prueba (de Bezout) se cambia la aritmética de gcd por la aritmética de enteros, por lo que la ley distributiva de gcd se convierte en la ley distributiva en el anillo de enteros.
