Estoy estudiando por mi cuenta la teoría de la medida y me encontré con este problema al estudiar $L_p$ espacio.
Supongamos que tenemos un espacio medible $(X,\Sigma, \mu)$ donde $\Sigma$ es un $\sigma$ -álgebra en $X$ y $\mu$ es una medida. Sea $L$ sea el conjunto de todos los pares $(Y,f)$ donde $Y \in \Sigma$ y tal que $\mu(X-Y)=0$ . Sea $f: Y\rightarrow C$ sea una función medible e integrable con respecto a Y, es decir $$\int_Y |f| d\mu < +\infty.$$
Ahora, dejemos que $L_1$ sea el conjunto cociente $L/\sim$ donde la relación de equivalencia $\sim$ se da como
$$(Y,f) \sim (Y', f')\ \text{if}\ f(x) = f'(x)\ \text{for all $ x $ in } Y \cap Y'$$
Demuestra que " $\sim$ " definida anteriormente es efectivamente una relación de equivalencia.
Mostrando $a\sim a$ y $a\sim b \rightarrow b\sim a$ es trivial, pero para mostrar $a\sim b$ , $b\sim c$ implica $a\sim c$ nos obliga a demostrar que la siguiente afirmación
$$\text{Assume we have a set of Y's},\ \{Y_1, Y_2, \dots\}.\ \text{If x is in}\ Y_i \cap Y_j\ \text{for some}\ i\neq j,\ \text{then we would have}\ \ x\in Y_i\ \forall i\in \mathbb{N} $$
¿Alguien tiene alguna idea de cómo mostrar la declaración anterior?