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Conjunto cociente y relación de equivalencia

Estoy estudiando por mi cuenta la teoría de la medida y me encontré con este problema al estudiar $L_p$ espacio.

Supongamos que tenemos un espacio medible $(X,\Sigma, \mu)$ donde $\Sigma$ es un $\sigma$ -álgebra en $X$ y $\mu$ es una medida. Sea $L$ sea el conjunto de todos los pares $(Y,f)$ donde $Y \in \Sigma$ y tal que $\mu(X-Y)=0$ . Sea $f: Y\rightarrow C$ sea una función medible e integrable con respecto a Y, es decir $$\int_Y |f| d\mu < +\infty.$$

Ahora, dejemos que $L_1$ sea el conjunto cociente $L/\sim$ donde la relación de equivalencia $\sim$ se da como

$$(Y,f) \sim (Y', f')\ \text{if}\ f(x) = f'(x)\ \text{for all $ x $ in } Y \cap Y'$$

Demuestra que " $\sim$ " definida anteriormente es efectivamente una relación de equivalencia.

Mostrando $a\sim a$ y $a\sim b \rightarrow b\sim a$ es trivial, pero para mostrar $a\sim b$ , $b\sim c$ implica $a\sim c$ nos obliga a demostrar que la siguiente afirmación

$$\text{Assume we have a set of Y's},\ \{Y_1, Y_2, \dots\}.\ \text{If x is in}\ Y_i \cap Y_j\ \text{for some}\ i\neq j,\ \text{then we would have}\ \ x\in Y_i\ \forall i\in \mathbb{N} $$

¿Alguien tiene alguna idea de cómo mostrar la declaración anterior?

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Michael Greinecker Puntos 19016

Simplemente no es cierto. $X=\{1,2,3,4\}$ , $\Sigma=2^X$ y $\mu$ se define de manera que $\mu(A)=0$ si $1\notin A$ y $\mu(A)=1$ si $1\in A$ . Teniendo en cuenta esta situación $1\in Y$ entonces $\mu(X-Y)=0$ .

Dejemos que $Y_1=\{1,2,3\}$ , $Y_2=\{1,2,4\}$ , $Y_3=\{1,3,4\}$ y definir $f_1,f_2,f_3$ a través de (espero que la notación sea clara) $f_1=(1:1,2:2,3:3,4:4)$ , $f_2=(1:1,2:2,3:3,4:4)$ y $f_3=(1:1,2:2,3:1,4:4)$ . Se puede comprobar fácilmente que $(Y_1,f_1)\sim(Y_2,f_2)$ y $(Y_2,f_2)\sim (Y_3,f_3)$ pero no $(Y_1,f_1)\sim(Y_3,f_3).$

Se obtiene una relación de equivalencia real si se toma $~$ que será dada por $(Y,f)\sim (Y',f')$ si $\mu\{x\in X:f(x)\neq f'(x)\}=0$ o, en su defecto, por $(Y,f)\sim (Y',f')$ si $\mu\{x\in Y_1\cap Y_2:f(x)\neq f'(x)\}=0$ .

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