Big-O de un polinomio dentro de un logaritmo.

Question

Se supone que tengo que demostrar que :

Para $g(x) = a_0+a_1 \cdot x+\cdots+a_n \cdot x^n$ un polinomio de grado $ n$ donde $ n \ge 0$ y $a_n \ne 0$ .

Demostrar que $\log|g(x)|$ es $O(\log(x))$ .

He podido hacerlo para polinomios específicos, pero no puedo demostrarlo con un polinomio genérico.

Answer 1

Podemos suponer que $a_n=1$ . Sea $R$ de manera que si $|x|>R$ entonces $\left|\frac{a_0+\dots+a_{n-1}x^{n-1}}{x^n}\right|\leq 1$ . Entonces $$\log|g(x)|=\log\left(|x|^n\left(\left|\frac{a_0+\dots+a_{n-1}x^{n-1}}{x^n}\right|\right)+1\right)\leq \log(|x|^n+1)\leq \log 2+n\log |x|$$ si $|x|>\max\{R,1\}$ . Esto da el resultado deseado, ya que si asumimos $|x|\geq \max\{R,2\}$ obtenemos $\log|g(x)|\leq (n+1)\log|x|$ .