Demostrar que $\mathbf{S}^n\to \mathbf{RP}^{n}$ es un difeomorfismo local

Question

Esta pregunta surgió en mi examen de geometría diferencial, e incluso después de que todavía estoy luchando.

Dejemos que $i:\mathbf{S}^n\hookrightarrow \mathbf{R}^{n+1}\setminus \{0\}$ sea la inyección canónica y $p:\mathbf{R}^{n+1}\setminus \{0\}\to \mathbf{RP}^n$ sea la suryección canónica. Demostrar que $p\circ i$ es un difeomorfismo local.

Sé (pero todavía no entiendo por qué) que tengo que demostrar que el diferencial de $p\circ i$ induce un isomorfismo entre los espacios tangentes $T_x(\mathbf{S}^n)$ y $T_{p(x)}(\mathbf{RP}^n)$ pero no llego más lejos.

¿Podría alguien dar alguna ayuda?

Answer 1

En primer lugar, tenemos un mapa bien definido entre dos variedades. En segundo lugar, hay que tener en cuenta que para un $x \in \mathbb{R}^{n+1}$ el núcleo $K$ de $d_xp: \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow T_{p(x)}\mathbb{RP}^n$ es exactamente $\mathbb{R}x$ (utilice un gráfico si no está convencido), de modo que, si $\|x\|=1$ , $d_xi(T_xS^n) \oplus K=\mathbb{R}^{n+1}$ .

Se deduce del "álgebra lineal estándar" que $d_xp_{|d_xi(T_xS^n)}$ es suryente, y por tanto que $p \circ i$ es una inmersión. Como las variedades tienen la misma dimensión, tenemos un difeomorfismo local.