¿Cuál es la definición precisa de un "espacio vectorial complejo"?

Question

Estoy estudiando álgebra lineal (como segundo año) por mi cuenta usando el libro de Axler, "Linear Algebra Done Right".

Me he encontrado con un problema de definición que no puedo superar.

En concreto, Axler (y Wolfram, y otros) definen un "espacio vectorial complejo" como un espacio vectorial en el que el campo son los números complejos. Según esta definición, los números complejos sobre los números reales no son un espacio vectorial complejo, pero los números complejos sobre los números complejos son un espacio vectorial complejo. Esto a pesar de que los dos espacios vectoriales son idénticos (o al menos isomorfos).

Ya veo que muchos teoremas relativos a los valores propios/vectores, a los adjuntos y a la teoría espectral varían según se trate de espacios vectoriales complejos o reales. Por tanto, la definición de "espacio vectorial complejo" es fundamental.

Seguro que hay una explicación fácil, pero no la veo. Gracias.

Answer 1

Espero que esto le dé una idea:

$\Bbb R$ como $\Bbb R$ -espacio vectorial

Esta es la línea real a la que estás acostumbrado. Tiene una base formada por un elemento, que podemos elegir que sea $1$ . Puedes verlo como un vector con un solo coeficiente. Observe que cualquier $r \in \Bbb R$ puede expresarse en esta base como $r \cdot 1$ . Un vector es sólo un número real, y tenemos la multiplicación escalar que es sólo la multiplicación habitual.

$\Bbb C$ como $\Bbb R$ -espacio vectorial

Este es el plano complejo. Necesitamos dos elementos de base, por ejemplo $1$ y $i$ . Ahora cualquier vector en $\Bbb C$ puede expresarse como $a + bi$ con $a,b \in \Bbb R$ . Si $r \in \Bbb R$ tenemos la multiplicación escalar $r(a + bi) = ra + rbi$ .

$\Bbb C$ como $\Bbb C$ -espacio vectorial

Ahora volvemos a ser unidimensionales. Sólo necesitamos un elemento base, $1$ por ejemplo. Cualquier elemento $a + bi \in \Bbb C$ puede expresarse como $(a + bi) \cdot 1$ . Compara esto con el primer ejemplo y convéncete de que son esencialmente lo mismo. La multiplicación escalar se realiza con elementos de $\Bbb C$ .

Tenga en cuenta que, por ejemplo, $\Bbb R$ como $\Bbb C$ -el espacio vectorial no tiene sentido. Tenemos que ser capaces de multiplicar por escalares de una manera significativa. Para la generalidad de los $z \in \Bbb C$ el producto con un número real $r \in \Bbb R$ es un número complejo $r \cdot z \in \Bbb C$ .

Answer 2

Puede ser útil recordar que un espacio vectorial está definido por algo más que el conjunto de vectores $V$ . Aunque a menudo lo abreviamos así, un espacio vectorial consta realmente de cuatro cosas, $(k, V, {}+{}, {}\cdot{})$ El campo base: el campo base $k$ el conjunto de vectores $V$ la operación de adición de vectores $+$ y la multiplicación escalar ${}\cdot{}$ . Teniendo esto en cuenta, será más fácil entender cómo $\mathbb C$ puede ser a veces un espacio vectorial complejo y a veces no.

Cuando pensamos en $\mathbb C$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb C$ nos referimos al espacio vectorial $(\mathbb C, \mathbb C, {}+{},{}\cdot{})$ donde la adición es la suma de números complejos y la multiplicación escalar es la multiplicación de números complejos.

Cuando pensamos en $\mathbb C$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ nos referimos al espacio vectorial $(\mathbb R, \mathbb C, {}+{},{}\cdot{})$ donde la adición es la suma de números complejos y la multiplicación escalar es la multiplicación de reales por números complejos.

Por tanto, se trata de dos espacios vectoriales diferentes, aunque el conjunto de vectores sea el mismo en ambos. Y uno de ellos es un espacio vectorial complejo, mientras que el otro es un espacio vectorial real.

Answer 3

En caso de que las otras respuestas sean demasiado abstractas, he aquí un ejemplo concreto.

Tratamiento de $\mathbb C$ como un espacio vectorial complejo de una dimensión, un ejemplo de escalar es $a = 2 + i.$ Un ejemplo de vector es $\mathbf v = (1 + 2i).$ Podemos realizar una multiplicación escalar de un vector así:

$$ a \mathbf v = (2 + i)(1 + 2i) = (5i), $$

donde $(5i)$ es también un vector en este espacio.

Ahora bien, si tomamos $\mathbb R^2$ como un espacio vectorial bidimensional, podríamos hacer la correspondencia obvia entre $\mathbb R^2$ y $\mathbb C$ tal que $(1, 2)^T \in \mathbb R^2$ corresponde a $1 + 2i = \mathbb C.$ Pero $2+i$ no es un escalar en este espacio vectorial. En su lugar tendríamos que tratar $2 + i$ como otro vector.

Es imposible tratar $(2 + i)(1 + 2i)$ como multiplicación escalar en $\mathbb R^2$ tomado como un espacio vectorial bidimensional, aunque en $\mathbb C$ como un espacio vectorial unidimensional este es multiplicación escalar. Por lo tanto, aunque $\mathbb R^2$ tiene algunos propiedades isomorfas con las correspondientes propiedades de $\mathbb C,$ le falta al menos esto.