Cómo mostrar la contradicción en la desigualdad de Hardy cuando la potencia de la singularidad es mayor que 2.

Question

Supongamos que $ \Omega \subset \mathbb{R}^N$ es un dominio suave y acotado. Hay una desigualdad de Hardy bien conocida que dice

Para cualquier $ u \in W_0^{1,2}(\Omega) $ , $N\geq3$ tenemos $$ \Lambda \int_{\Omega} \frac{u^2}{|x|^2} \, \mathrm{d}x \leq \int_{\Omega} |\nabla u|^2 \, \mathrm{d}x $$ Donde $ \Lambda=\frac{(N-2)^2}{4} $ es la constante óptima.

Ahora se me pide que demuestre que para cualquier $p>2$ y $u \in C_0^{\infty}(B_r(0))$ $$ \Lambda \int_{B_r(0)} \frac{u^2}{|x|^p} \, \mathrm{d}x \leq \int_{B_r(0)} |\nabla u|^2 \, \mathrm{d}x $$ se contradice con la desigualdad de Hardy. Donde $B_r(0)$ es la bola centrada en cero para algún radio $r$ suficientemente pequeño.

Mi intento: $$ \int_{B_r(0)} \frac{u^2}{|x|^p} \, \mathrm{d}x=\int_{B_r(0)} \frac{1}{|x|^{p-2}} \frac{u^2}{|x|^2} \, \mathrm{d}x $$

para algunos $r$ suficientemente pequeño, ya que $p>2$ podemos decir que

$$\frac{1}{|x|^{p-2}} > \Lambda_N$$

Así que esto se contradice con la optimalidad de $\Lambda_N$ en la desigualdad de Hardy.

¿Puede alguien dar otro enfoque?

Gracias.

Answer 1

Otro enfoque consistiría en considerar cómo escalan ambas partes bajo la transformación $x = \lambda y$ , $\lambda>0$ . Por el cambio de variables y la regla de la cadena, se convierte en $$ \Lambda \int_{\lambda^{-1}\Omega} \frac{u^2}{\lambda^p |y|^p} \, \lambda^n\mathrm{d}y \leq \int_{\lambda^{-1}\Omega} \lambda^2 |\nabla u|^2 \lambda^n\, \mathrm{d}x $$ Así, si $\Lambda(r)$ denota la constante óptima para $\Omega=B_r$ tenemos $\Lambda(\lambda^{-1}r)=\lambda^{p-2}\Lambda(r)$ . Como $\lambda\to \infty$ Esto demuestra que $\Lambda(\lambda^{-1}r)\to\infty$ .