¿Por qué la expansión de Taylor de $f(x)=\frac{1}{1-x}$ ¿me da una expresión diferente a la esperada?

Question

Dejemos que $f(x)=\frac{1}{1-x}$ . Usando sumas parciales puedo derivar lo siguiente para $-1<x<1$ :

\begin{equation} f(x)=1+x+x^2+x^3+\cdots \tag{*}\label* \end{equation}

Para encontrar una expansión en serie de Taylor de $f(x)$ Necesito encontrar una expresión general para la enésima derivada de $f(x)$ . Por inducción me sale:

$$f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n\ n!}{(1-x)^{n+1}}$$

Quiero centrar mi serie en torno al cero. Así que enchufando el cero obtengo...

$$f^{(n)}(0)=(-1)^n\ n!$$

Introduciendo esto en la fórmula de la serie Taylor obtengo...

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n$$

Utilizo la prueba de la proporción para encontrar el radio de convergencia que es $-1<x<1$ .

Así que usando la expansión de la serie de Taylor obtengo

$$f(x)=1-x+x^2-x^3+\cdots$$ lo que contradice a \eqref{*} anterior.

Answer 1

Las derivadas son erróneas: hay que utilizar la regla de la cadena. Además de obtener una $-$ signo de los exponentes negativos, también se obtiene un signo menos de $1-x$ que tiene un derivado $-1$ . Así que en cada etapa, se cancelan, y usted debe tener todos los términos positivos.

Answer 2

Tenga en cuenta que $f'(x)=\frac1{(1-x)^2}$ , $f''(x)=\frac2{(1-x)^3}$ y, en general $$f^{(n)}(x)=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}.$$ Por lo tanto, su fórmula para $f^{(n)}$ se equivoca.

Answer 3

$$f^{(n)}(x) \ne \frac{(-1)^n\ n!}{(1-x)^{n+1}}$$

Tenemos $f'(x) = \frac{1!}{(1-x)^2}$ , $f''(x) = \frac{2!}{(1-x)^3}$ y así sucesivamente. Así que tenemos $$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$$