¿Qué es una función? por favor.

Question

Axioma esquema de reemplazo: Permitir que el dominio de la función $F$ el conjunto $A$. Entonces el rango de a $F$ (los valores de $F(x)$ para todos los miembros de la $x$$A$) es también un conjunto. — Tarski–Grothendieck la teoría de conjuntos

Yo no puedo apreciar plenamente el axioma; para mí, cuando se habla de la función de $F$, debemos asumir un dominio y un rango de antes. Por lo tanto suena que el axioma es circular.

Así que mi pregunta es: ¿qué es una función?
Si una función no se define a través de conjuntos, entonces parece que la "función" es más fundamental el concepto de "conjunto".

Answer 1

La habitual declaración de el axioma esquema de la sustitución, es como sigue:

Para cualquier fórmula $\phi(x,y,p)$:

$$\forall p( \forall x,y,z(\phi(x,y,p)\land \phi(x,z,p) \to y = z) \to \forall X \exists Y \forall u(u \in Y \leftrightarrow \exists v(v \in X \land \phi(v,u,p))))$$

Aquí, $p$ es para ser considerado como un "parámetro", por ejemplo, los si $\phi(x,y,p)$ es la fórmula $y = (x,p)$; el conjunto resultante $Y$ dependerá $p$. La primera parte expresa que $\phi(\cdot,\cdot,p)$ es una relación funcional: cualquier $x$ admite a lo sumo una $y$ tal que $\phi(x,y,p)$.

Es esta $\phi(x,y,p)$ a que se refiere, de manera descuidada, como una "función". Pero vemos que la $\phi$ tiene que ser algo más explícito forma: debe ser una fórmula que se puede expresar mediante el lenguaje de la teoría de conjuntos, y tenemos que ser capaces de verificar que constituye una relación funcional. Sólo entonces podremos invocar reemplazo a la conclusión de que la $Y_p = \{y\mid\exists x: \phi(x,y,p)\}$ es un conjunto.

Así, hemos diseñado una especie de "formal analógico" de una "función", mediante el uso de ciertas fórmulas (que son objetos sintácticos) en lugar de ciertos conjuntos (que son semántico de los objetos). Mediante la imposición de funcionalidad, nos aseguramos de que nuestros formal analógica se comporta más o menos como una función. Sin embargo, hicimos no especificar "dominio" o "codominio", y que muy bien puede no ser fija (que puede estar vacía, o que constan de todos los conjuntos!).

Los no especificados de dominio y codominio son lo que separa a un "formal de la función" de un "funcionamiento interno", usando el estándar de "adecuado colección de pares ordenados" de la definición.

Ahora, ¿por qué no "formal", las funciones más generales que los conjuntos? Esto es debido a que aún están expresados en términos de "conjuntos" (más bien, en términos de las variables de $x,y,z,p,u,v,X,Y$, lo que queremos pensar como conjuntos). No podemos disponer de estas variables y todavía sensatez hablar de las fórmulas que hemos llamado "formal" funciones de cq. "relaciones funcionales".

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Lo que hemos visto anteriormente es un ejemplo de un fenómeno que puede ser muy confuso. Hemos visto "funciones" que son de una forma diferente a lo nuestro habitual de definición de la función es. Pueden ser "demasiado grande" para ajustarse a la definición habitual de la función.

Nosotros, externa al modelo de la teoría de conjuntos, puede razonar acerca de estas "funciones". Sin embargo, el modelo en sí no tiene los medios para contemplar a ellos como un solo objeto. Nos dicen que la "función" es externo a la modelo. La definición habitual de una función en forma adecuada (pero a costa de considerables tedio) se llama una función interna, debido a que el modelo es capaz de razonar sobre ella como un único objeto.

Este interno o externo de la doctrina viene en muchas, a veces de lugares inesperados en la lógica, y puede dar lugar a intuitivamente desconcertantes declaraciones. Usted puede pensar en la distinción entre el $A \vdash B$ $A \to B$ en cálculo proposicional como un ejemplo más: el primero es la forma externa de decir "si $A$ se cumple,$B$", mientras que el segundo es su interior analógica. En el cálculo proposicional, las dos nociones de acuerdo, pero en sistemas más complicados, a veces uno puede fallar, mientras que el otro tiene (!).

Answer 2

Si el citado axioma se parte de una teoría de los conjuntos y clases, como Morse-Kelley o Neumann-Bernays-Gödel, a continuación, me gustaría simplemente decir que una función es una clase de pares ordenados en los que no hay dos pares ordenados tienen el mismo primer elemento. Pero en esta teoría, esta forma de sustitución sería un único axioma, no un axioma esquema. Desde que lo etiquetan como un esquema en la pregunta, debo asumir que estamos tratando con una teoría de los conjuntos, no clases, como la de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos. En este contexto, el uso de la palabra "función" es bastante inusual, pero no desconocidas. Yo diría que es bastante inusual que cualquier texto que usa debe dar una explicación o, al menos, un puntero a una explicación. (Sugerencia: la búsqueda de una explicación en la fuente donde has encontrado esta formulación de la sustitución del esquema.) El significado usual de "función" en ZF (o teorías similares) es un conjunto de pares ordenados, no hay dos que tengan la misma primera componente, y que es, sin duda , no lo que se quiere decir aquí. Como algunas de las respuestas anteriores hemos explicado, la intención de la noción de "función" aquí es lo que yo llamaría una forma paramétrica definida la operación. Técnicamente, este consiste en dos cosas: en Primer lugar, hay una (de primer orden) fórmula $\phi(x,y,\vec p)$ con dos "importantes" libre variables $x$ $y$ y posiblemente algunos otros "auxiliares" de las variables o "parámetros" $\vec p$; en segundo lugar hay conjuntos específicos como los valores de los parámetros de $\vec p$. Decir que la fórmula $\phi$ con los valores de $\vec p$ constituye una "función", es decir, que la fórmula $$ \forall x\,\forall y\,\forall z\,[(\phi(x,y,\vec p)\de la tierra\phi(x,z,\vec p))\implica y=z] $$ es cierto (para los valores dados de $\vec p$). Esta mezcla de la sintaxis (\phi) y la semántica (los valores de $\vec p$) es bastante complicado para formalizar cuidadosamente (aunque se ha hecho), así que, cuando la introducción de los axiomas de la teoría de conjuntos, prefiero no introducir estas extrañas "funciones" y en lugar de formular el reemplazo Lord_Farin hizo.

Answer 3

El enfoque más sencillo, conceptualmente, es para ver una función como una relación en un sentido más general. Normalmente, una relación es un subconjunto de un producto Cartesiano de conjuntos. Para este propósito, en cambio, tenemos una subclase de un producto Cartesiano de las clases. En una clase de teoría de conjuntos (por ejemplo, NBG o teoría de Morse-Kelley teoría), las clases se definen formalmente. En ZF, las clases son de manera informal utilizado para describir ciertas funciones proposicionales. Cualquier "primer orden" lógico fórmula está asociado con la clase de todos los conjuntos que satisfacen. Dos importantes relaciones de este tipo son los "epsilon relación" $E$, que relaciona dos conjuntos, siempre que el primero es un elemento de la segunda, y la puesta en relación de inclusión, que relaciona dos conjuntos cada vez que el primero es un subconjunto de la segunda. Las funciones utilizadas por el axioma de reemplazo son de esta generalizada de ordenación. La situación es muy similar a la de el axioma de especificación, de verdad.

Anexo: El conjunto teórico de la noción de función es a veces un poco diferente de otros matemático. En muchos casos, donde un conjunto teórico escribe "función", sería mejor leer "muchos-a-una relación", donde una "relación" significa una clase cuyos elementos son pares ordenados.

Answer 4

Creo que el punto aquí es que el $f$ anterior podría ser una función de clase. Es decir, podemos tener funciones $$f: A \to B$$ where $A $ and $B $ are classes but maybe not sets (called proper classes). But, if we know that the domain, i.e. $A $ is a set, then the image of $A $ under $f $ is also a set. Notice, this does not say $B $ is a set. But simply that the range of $f # $ es. La intuición del axioma es que si empiezo con un juego no puedo mapa algo "demasiado grandes".

Answer 5

Una relación es un conjunto de $R$ todos cuyos elementos están ordenados en pares. % $ $$dom(R) = \{x: \exists y (\langle x,y \rangle \in R)\}$y

$$ran(R)=\{y: \exists x (\langle x, y \rangle \in R)\}.$$

Estas definiciones tienen sentido para cualquier conjunto de $R$, pero generalmente sólo se utilizan $R$ es una relación, en que caso el $R$ $R \subset dom(R)\times ran(R).$ definimos $R^{-1}=\{\langle x,y \rangle: \langle y,x \rangle \in R\}$, que $(R^{-1})^{-1}=R$ si $R$ es una relación.

$f$ es una función iff $f$ es una relación y

$$ \forall x \in dom(f) \exists !y\in ran(f)(\langle x,y\rangle\in f).$$

$f: A \to B$ significa $f$ es una función, $A=dom(f)$ y $ran(f)\subset B$. Si $f:A \to B$ y $x\in R$, $f(x)$ son la única $y$tal que $\langle x, y\rangle \in f$.