Conozco el problema inverso de la forma $Ax=b$ donde la matriz $A$ y el vector $b$ son conocidos y necesitamos estimar el vector $x$ . ¿Existe algún método formal para encontrar la matriz $A$ dado $b$ y $x$ ? Puedo entender lo mal planteado que puede estar, pero ¿hay algún estudio al respecto?
Específicamente, ¿existe un significado específico de la matriz $A$ con la más alta $L_p$ norma, o matriz más escasa $A$ o incluso $A$ con valores singulares especificados?
Tenemos un sistema lineal en $\mathrm A \in \mathbb R^{m \times n}$
$$\mathrm A \mathrm x = \mathrm b$$
donde $\mathrm x \in \mathbb R^{n}$ y $\mathrm b \in \mathbb R^{m}$ se dan. Vectorización el lado izquierdo, obtenemos el sistema lineal
$$(\mathrm x^T \otimes \mathrm I_m) \, \mbox{vec} (\mathrm A) = \mathrm b$$
que está escrito en una forma más familiar. Tenemos $m n$ desconocidos y sólo $m$ ecuaciones, es decir, si $n > 1$ entonces tenemos un underdetermined sistema lineal. El espacio nulo de $\mathrm x^T \otimes \mathrm I_m$ tiene una dimensión mínima de $m (n-1)$ . Asumiendo que $n > 1$ entonces hay infinitas soluciones.
Podemos buscar la matriz $\mathrm A$ con el norma mínima de Frobenius a través de $2$ -Minimización de la norma
$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \|\mbox{vec} (\mathrm A)\|_2\\ \text{subject to} & (\mathrm x^T \otimes \mathrm I_m) \, \mbox{vec} (\mathrm A) = \mathrm b\end{array}$$
o podemos buscar un escaso matriz $\mathrm A$ a través de $1$ -Minimización de la norma
$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \|\mbox{vec} (\mathrm A)\|_1\\ \text{subject to} & (\mathrm x^T \otimes \mathrm I_m) \, \mbox{vec} (\mathrm A) = \mathrm b\end{array}$$
En MATLAB, utilice la función kron para hacer el producto Kronecker $\otimes$ y reshape para vectorizar (y desvectorizar).
La solución más sencilla es seguramente una matriz diagonal A cuyos elementos diagonales pueden calcularse inmediatamente -cuando no hay ceros en $x$ están involucrados.
Sin embargo, si los ceros en $b$ o en $x$ están involucrados $A$ puede que no sea posible hacer una diagonal.
En algún caso extremo: cuando $b$ es completamente cero pero no $x$ entonces se necesitaría una solución especial; por ejemplo, que $A$ es así, que $x$ es un vector propio de $A+ \lambda \cdot I$
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