Optimización lagrangiana (restringida) - tasa de cambio de los valores óptimos

Question

En la optimización lagrangiana con restricciones, ¿cuál es la forma general de averiguar cómo varía el punto óptimo con respecto a los parámetros de las restricciones? Por ejemplo, maximizar $x\cdot y$ cuando $x + y \lt k$ y quería encontrar $\large\frac{dx^{*}}{dk}$ y $\large\frac{dy^{*}}{dk}$ donde $(x^{*},y^{*})$ es el punto óptimo. ¿Cómo lo haría?

Answer 1

El punto óptimo puede no ser diferenciable en un valor de $k$ donde una restricción pasa de ser vinculante a no vinculante. Con cualquier otro valor de $k$ sólo hay que diferenciar con respecto a $k$ las condiciones de primer orden (de igualdad) para las restricciones que obligan y resuelven para $\partial x^*/\partial k$ etc.

Consulte cualquier libro de optimización estándar, por ejemplo, Luenberger Programación lineal y no lineal o el de Sundaram Primer curso de teoría de la optimización ,