Distancia en el espacio 3 entre dos vectores paralelos

Question

Sé que estas dos líneas son paralelas, pero no sé cómo encontrar la distancia entre ellas. ¿Alguna sugerencia?

Línea 1: (3, 4, 7) + {6, 2, 4}t

Línea 2: (-1, 5, -1) + {3, 1, 2}t

He intentado crear un triángulo compuesto por una línea ortogonal a ambas líneas (la distancia más corta entre las líneas), una hipotenusa que une los dos puntos conocidos (3, 4, 7) y (-1, 5, -1), y un cateto que une (-1, 5, -1) con la intersección de la línea ortogonal en la línea 2. En la línea 1, el punto (3, 4, 7) era la intersección de la recta ortogonal y la hipotenusa.

Lo siento si no tiene sentido, he hecho lo que he podido. No tengo ni idea de cómo incluir imágenes en esta web, es mi primer post. Y esto no es una tarea, es un problema de práctica para una clase de Cálculo Multivariable. Estoy estudiando para un examen que tenemos la semana que viene. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

El enfoque de fuerza bruta consiste en establecer la distancia entre dos puntos, uno en la primera línea y el otro en la segunda, y luego minimizarla: $$d(t_1, t_2) = \lVert L_1(t_1) - L_2(t_2) \rVert \quad (*)$$ donde $$L_i(t_i) = a_i + t_i \, b_i$$ es la ecuación parametrizada de la línea $i$ .

Es un poco más fácil hacerlo para el cuadrado de la distancia $$q(t_1, t_2) = d^2(t_1, t_2) = \lVert L_1(t_1) - L_2(t_2) \rVert^2 = \sum_{k=1}^3 \left[ \left( L_1(t_1) - L_2(t_2) \right)_k \right]^2$$ A continuación, calcule dónde está el $t$ -gradiente de $q$ se desvanece para encontrar candidatos a extremos locales. (Hasta aquí el cálculo multivariable)

Por último, utilice la minimización encontrada $t$ parámetros para calcular la distancia mínima insertándolos en la ecuación $(*)$ .

Cálculo: $$\begin{align} q(t_1, t_2) &= (3 + 6 t_1 - (-1 + 3 t_2))^2 + (4 + 2 t_1 - (5 + 1 t_2))^2 + (7 + 4 t_1 - (-1 + 2 t_2))^2 \\ &= (4 + 6 t_1 - 3 t_2)^2 + (-1 + 2 t_1 - t_2)^2 + (8 + 4 t_1 - 2 t_2)^2 \end{align}$$ $$\begin{align} 0 = \partial q / \partial t_1 &= 2(4 + 6 t_1 - 3 t_2) (6) + 2(-1 + 2 t_1 - t_2) (2) + 2(8 + 4 t_1 - 2 t_2) (4) \\ &= 48 - 4 + 64 + (72+8+32) t_1 + (-36-4-16) t_2 \\ &= 108 + 112 t_1 - 56 t_2 \\ 0 = \partial q / \partial t_2 &= 2(4 + 6 t_1 - 3 t_2) (-3) + 2(-1 + 2 t_1 - t_2) (-1) + 2(8 + 4 t_1 - 2 t_2) (-2) \\ &= -24+2-32 + (-36-4-16)t_1 + (18+2+8)t_2 \\ &= -54 -56 t_1 + 28 t_2 \end{align}$$ El gradiente no tiene una solución única sino que desaparece a lo largo de la línea $28 t_1 - 14 t_2 = -27$ , lo que significa que las dos líneas están separadas por una distancia constante, son paralelas.

Elegimos un par, uno sencillo es $t_1 = 0$ lo que lleva a $t_2 = 27/14$ . Esto da $$\begin{align} q(0,27/2) &= (4-3\cdot 27/14)^2 + (-1 - 27/14)^2 + (8-2\cdot 27/14)^2 \\ &= \frac{(-25)^2 + (-41)^2 + (58)^2}{14^2} \\ &= \frac{5670}{14^2} \end{align}$$ que da $d = \sqrt{5670}/14 = 5.37\dotsb$

( Versión grande )

Answer 2

Para hallar la distancia entre las líneas, se toma un vector cualquiera entre ellas y se proyecta sobre el plano perpendicular a ellas: si las líneas son $p + tv$ y $q+tv$ un vector más corto entre las líneas es

$$(I-\hat{v}\hat{v}^T)(q-p)$$

y la magnitud es la distancia. Creo que esto es muy similar al triángulo que describes en tu post.

Answer 3

$3$ -d el espacio está dotado de un producto cruzado. En general, hay que intentar utilizar el producto cruzado siempre que sea posible, aunque hay que acostumbrarse a él. En la estática de la ingeniería, por ejemplo, se enseña a los estudiantes a pensar de esta manera y vale la pena para el problema actual. Si dos líneas son paralelas, podemos decir que $$\vec r_1=\vec p_1+\vec v_1t_1$$ $$\vec r_2=\vec p_2+\vec v_1t_2$$ Puedes intentar imaginar un triángulo con vértices en $\vec p_1$ , $\vec p_2$ y $\vec q$ el punto más cercano de $\vec r_1$ a $\vec p_2$ . Este es un triángulo rectángulo y la distancia que necesitamos es $$\overline{qp_2}=\overline{p_1p_2}\sin\angle p_2p_1q=\left|\frac{(\vec p_2-\vec p_1)\times\vec v_1}{\left|\left|\vec v_1\right|\right|}\right|$$ Si las dos líneas no son paralelas, $$\vec r_1=\vec p_1+\vec v_1t_1$$ $$\vec r_2=\vec p_2+\vec v_2t_2$$ Entonces podemos ver las líneas a lo largo de la línea que conecta los puntos más cercanos de las dos líneas, $\vec q_1$ y $\vec q_2$ . El vector que une las líneas en los puntos más cercanos es entonces $\vec d=\vec q_2-\vec q_1$ y $$\left|\left|\vec d\right|\right|=\left|\vec d\cdot\frac{\vec v_1\times\vec v_2}{\left|\left|\vec v_1\times\vec v_2\right|\right|}\right|$$ y $$\begin{align}\vec d\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)&=(\vec q_2-\vec q_1)\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)=(\vec q_2-\vec q_1+\vec q_1-\vec p_1)\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)\\ &=(\vec q_2-\vec p_1)\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)=(\vec q_2-\vec q_2+\vec p_2-\vec p_1)\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)\\ &=(\vec p_2-\vec p_1)\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)\end{align}$$ Donde la adición de múltiplos de $\vec v_1$ y $\vec v_2$ no era un problema porque son ortogonales a $\vec v_1\times\vec v_2$ . Así, la fórmula de la distancia se convierte simplemente en $$\left|\left|\vec d\right|\right|=\left|(\vec p_2-\vec p_1)\cdot\frac{\vec v_1\times\vec v_2}{\left|\left|\vec v_1\times\vec v_2\right|\right|}\right|$$ El hecho de pensar en términos del producto cruzado hace que este tipo de problema sea fácil de plantear sin tener que recordar muchas fórmulas.