Dimensión del anillo de la serie de potencias localizado en sus variables

Question

Estoy tratando de responder a la pregunta

Dejemos que $k[[X_1,\ldots,X_n]]$ sea el anillo de la serie de potencias en $n$ variables sobre un campo $k$ . ¿Cuál es la dimensión (Krull) de $k[[X_1,\ldots,X_n]][(X_1\cdots X_n)^{-1}]$ donde por esto último entendemos la localización de $k[[X_1,\ldots,X_n]]$ en el conjunto multiplicativo $\{1,X_1\cdots X_n, (X_1\cdots X_n)^{2},\ldots \}$ ?

Una suposición natural es que la respuesta es $n-1$ . Y, de hecho, soy capaz de demostrarlo siempre que $$\operatorname{char}(k)\nmid n-2$$ de la siguiente manera:

Es bien sabido que $\dim k[[X_1,\ldots,X_n]]=n$ y que $(X_1,\ldots,X_n)$ es el único ideal maximal de $k[[X_1,\ldots,X_n]]$ . Desde $$X_1\cdots X_n\in (X_1,\ldots,X_n)$$ sabemos que $\dim k[[X_1,\ldots,X_n]][(X_1\cdots X_n)^{-1}]\le n-1$ . Para demostrar la igualdad, tenemos que demostrar que $k[[X_1,\ldots,X_n]]$ contiene un primo de altura $n-1$ que no contiene ninguna de las variables $X_1,\ldots,X_n$ . Considere el primer $\mathfrak{p}=(X_1,\ldots, X_{n-1})$ de altura $n-1$ en $k[[X_1,\ldots,X_n]]$ .

Consideremos ahora un cambio de variables en $k[[X_1,\ldots,X_n]]$ dado por el mapeo $X_j$ a $(\sum_{i=1}^{n}X_i)-X_j$ para $1\le j\le n-1$ y $X_n$ a $(\sum_{i=1}^{n}X_i)$ . Se trata de un isomorfismo, y la comprobación de la imagen de $\mathfrak{p}$ obtenemos que $$\mathfrak{p'}:=((\sum_{i=1}^{n}X_i)-X_1, \ldots, (\sum_{i=1}^{n}X_i)-X_{n-1})$$

es un ideal primo de altura $n-1$ en $k[[X_1,\ldots,X_n]]$ . Es fácil demostrar que $X_j\notin \mathfrak{p'}$ para $1\le j\le n-1$ (suponiendo lo contrario, podemos demostrar que $(X_1,\ldots,X_n)\subset\mathfrak{p'}$ contradiciendo lo que dijimos anteriormente sobre la altura de $\mathfrak{p'}$ ).

Sin embargo, no siempre es cierto que $X_n\notin \mathfrak{p'}$ De hecho, esto falla precisamente cuando $\operatorname{char}(k)\mid n-2$ por lo que la prueba no se aplica a este caso.

Answer 1

Sí, el resultado que has conjeturado es correcto, y tu prueba se puede modificar fácilmente para llegar a él. Simplemente escogeremos un automorfismo más simple que nos libere del $\operatorname{char(k)} \mid n-2$ obstáculo.

En concreto, considere la $k[[x_1, \ldots, x_n]]$ -automorfismo que envía $x_i \rightarrow x_i + x_n$ para $i < n$ y la fijación de $x_n$ .

Esto mapea la altura $n-1$ prime $(x_1, \ldots, x_{n-1})$ a la altura $n-1$ prime $P = (x_1 + x_n, \ldots, x_{n-1} + x_n)$ .

Observe que $x_k \in P$ implica $x_n \in P$ implica $x_i \in P$ para todos $i$ . Esta última afirmación es absurda, ya que $P$ es de altura $n-1$ sabemos que $x_i \notin P$ para todos $i$ .