Estoy tratando de entender algunas propiedades de las categorías enriquecidas en tipos de homotopía, y la siguiente pregunta se ha vuelto importante:
Cuando tomamos el espacio de bucles de un tipo de homotopía (conectado), obtenemos un objeto de grupo de tipo de homotopía (ya que como objeto de suspensión, el círculo es canónicamente un objeto de cogrupo). Cuando olvidamos la estructura de grupo, nos quedamos con el endofunctor normal del espacio de bucles, y cuando restringimos la atención al grupo de componentes del espacio de bucles, éste es el grupo fundamental. Me pregunto cuándo conservamos toda esta información. ¿Qué propiedades tiene el funtor resultante a la categoría de objetos de grupo en la categoría de homotopía (donde los morfismos son morfismos de tipos de homotopía que respetan la estructura de grupo)?
¿Está lleno? ¿Es fiel? ¿Es esencialmente sobreyectiva (esta es una pregunta muy interesante por sí misma para mí - ¿surge todo objeto de grupo de tipo homotópico de un espacio de bucles)? ¿Es un adjunto derecho (mi intuición me dice que sí)?
Más contexto: hay un par componible obvio de contiguos derechos $\text{Set}\rightarrow\text{Grpd}\rightarrow\text{Cat}$ cuyos adjuntos a la izquierda convierten una categoría en un grupito invirtiendo libremente todas las flechas (los cocientes se hacen necesarios en el caso de flechas idempotentes; pienso en esto como la categorización de la operación de grupo de Grothendieck) y convierten un grupito en su conjunto de componentes. Me gustaría encontrar una secuencia análoga de funtores cuando $\text{Set}$ , $\text{Grpd}$ y $\text{Cat}$ se sustituyen por $\text{HoSSet}$ , $\text{HoSSet-Grpd}$ y $\text{HoSSet-Cat}$ respectivamente.
Un punto más: el functor que envía un groupoide a sus componentes induce un functor $\text{Grpd-Cat}\rightarrow\text{Set-Cat}\cong\text{Cat}$ . Cuando utilizamos su estructura cerrada para pensar en $\text{Grpd}$ como objeto de $\text{Grpd-Cat}$ vemos que este functor envía el $\text{Grpd}$ -categoría $\text{Grpd}$ a una categoría equivalente a la categoría de conjuntos (perdóname por jugar rápido con las cuestiones de tamaño; inserta "pequeño" donde sea apropiado). Me pregunto si existe un functor que haga algo similar en el caso de $\text{HoSSet}$ -categorías.