Problemas para calcular esta doble integral

Question

$$\iint_R xe^{xy}~\mathrm{d}A \qquad 0\le x\le 2 \quad 0 \le y \le 1$$

Hoy empecé a aprender sobre las integrales dobles en una clase que estoy tomando, tenía buena comprensión sobre las integrales de una sola variable pero simplemente no tengo idea de qué hacer aquí. Sólo soy capaz de hacer algunos ejercicios sencillos en los que, obviamente, puedo separar los términos sin "mezclar" las variables, y luego sacarlos de una integral, por ejemplo:

$$\iint_R (x^2y) ~\mathrm{d}y~\mathrm{d}x \qquad 0\le y\le 1 \quad 1 \le x \le2$$ $$=\int_1^2 \left[ x^2\int_0^1 y~\mathrm{d}y \right]~\mathrm{d}x$$

Y entonces se vuelve fácil de hacer. Pero en la primera no sé cómo separarlas. Alguien podría darme una pista de cuál es el siguiente paso?

Answer 1

Una pista: $$\int\int_{D}xe^{xy}dA=\int_{0}^{2}\bigg(x\int_{0}^{1}e^{xy}dy\bigg)dx$$

En la integral interna piense en $x$ como una constante.

Answer 2

Como la región de integración es rectangular, basta con considerar primero la integral $$\int_{y=0}^1 xe^{xy} \, dy = e^x - 1.$$ Tenga en cuenta que $$\frac{\partial}{\partial y}\bigl[e^{xy}\bigr] = xe^{xy}.$$ A continuación, integre lo anterior con respecto a $x \in [0,2]$ .

Answer 3

Integrar a través de $y$ el primero es definitivamente el corte más recto. Sin embargo, es una buena práctica verificar que el orden no importa. Para simplificar esto, tenga en cuenta que $$\int_{x=0}^2 x\,e^{x y}\,dx=y^{-2}e^{x y}\left[x y-1\right]_{x=0}^{2}=y^{-2}\left(1-e^{2y}(1-2y)\right).$$ La integral resultante sobre $y\in[0,1]$ es tedioso pero sirve para comprobar el otro enfoque.