Línea(s) tangente(s) simultánea(s) a $y = \frac{1}{2}x^2$ y $g = \ln x$

Question

Pregunta:

Demuestre que hay al menos una recta en el plano xy que es simultáneamente una tangente a la curva:

$$y = \frac{1}{2}x^2$$

y la curva:

$$g = \ln x,x \geq 0$$

¿Cuántas líneas de este tipo existen? Observa que no es necesario determinar las ecuaciones de esas tangentes.

La solución debe utilizar alguna forma de cálculo.

Intento de solución:

En primer lugar, utilizo Wolfram Alpha para dibujar un gráfico sólo para tener una idea muy general de cómo son las curvas. Por supuesto, esto es sólo una pequeña parte del gráfico y las soluciones podrían muy bien estar fuera de la imagen.

De la pregunta deduzco que las dos funciones no tienen por qué tocarse en los lugares donde están las rectas tangentes. Esto es porque una línea tangente dada podría ser una tangente a la primera curva en un lugar y una tangente a la segunda curva en otro.

En cualquier caso, una tangente simultánea requiere derivadas idénticas para las dos funciones.

$$y = \frac{1}{2}x^2, x \in \mathbb{R}$$

$$y' = x, x \in \mathbb{R}$$

$$g = \ln x,x \geq 0$$

$$g' = \frac{1}{x}, x \neq 0$$

Poniéndolos en igualdad de condiciones:

$$y' = g' \Rightarrow x = \frac{1}{x} \Rightarrow x^2 = 1$$

Esto produce las dos soluciones:

$$x_1 = 1$$ $$x_2 = -1$$

No estoy seguro de cómo seguir adelante a partir de aquí. Intuitivamente, tal vez vería si una línea tangente propuesta de cada una de las dos ecuaciones tenía el mismo intercepto y, pero no estoy seguro de cómo hacer eso sin determinar la fórmula para la tangente (algo que la pregunta dice que no es necesario).

La respuesta esperada es: "Hay dos líneas de este tipo" y nada más.

Seguramente, no puede ser tan sencillo como tomar la derivada, ponerlas iguales y obtener dos valores de x aquí.

¿Cómo puedo terminar con esto?

Answer 1

Por favor, consulte mi comentario para entender por qué su solución es incorrecta.

Tenemos dos funciones, $f(x)=\frac{1}{2}x^2\implies f'(x)=x$ y $g(x)=\ln x\implies g'(x)=\frac{1}{x}$ . Deje que el $x$ -valor del punto de tangencia en $f(x)$ sea $a$ y la de $g(x)$ sea $b$ .

Determinemos la ecuación general de una tangente para $f(x)$ y luego buscar líneas específicas que sólo toquen $g(x)$ una vez.

$$\begin{align} y-y_1&=\dfrac{dy}{dx}(x-x_1)\\ y&=a(x-a)+\frac{1}{2}a^2 \tag{Using the point $(a,f(a)$}\\ \end{align}$$

Ahora, resolvemos cuando esta tangente interseca un punto, $(b,g(b))$ en $g(x)$ . Nótese que esto incluirá soluciones donde la tangente toca $g(x)$ en más de un punto.

$$\begin{align} y&=a(x-a)+\frac{1}{2}a^2\\ \ln b&=a(b-a)+\frac{1}{2}a^2\\ \ln b&=ab-a^2+\frac{1}{2}a^2 \\ \ln b&=ab-\frac{1}{2}a^2\tag{1}\\ \end{align}$$

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Debemos hacer lo mismo para $g(x)$ . Necesitamos encontrar la ecuación general de la tangente de $g(x)$ y encontrar cuando se cruzan $f(x)$ . Si sigues el proceso anterior, entonces deberías terminar con:

$$\begin{align} y-y_1&=\dfrac{dy}{dx}(x-x_1)\\ y&=\frac{1}{b}(x-b)+\ln b \tag{Using the point $(b,\ln b$)}\\ \frac{1}{2}a^2&=\frac{1}{b}(a-b)+\ln b \\ \frac{1}{2}a^2 &=\frac{a}{b}-1+\ln b \tag{2}\\ \end{align}$$

Resolver $(1)$ y $(2)$ simultáneamente para $a$ y $b$ da dos soluciones: $a=0.3982,b=2.511$ y $a=1.774,b=0.5638$ , dado con cuatro cifras significativas. Por lo tanto las ecuaciones de las tangentes son:

$$y=0.3982(x-0.3982)+0.0793$$ y

$$y=1.774(x-1.774)+0.1573$$

Aquí hay una captura de pantalla de Desmos para mostrar la solución.