¿En qué sentido la fórmula de convolución se describe como una media ponderada?

Question

En este Artículo de Wikipedia sobre convolución se dice que: $$ (f*g)(t):=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau $$ puede describirse como una media ponderada de la función $f(\tau)$ en este momento $t$ . No entiendo qué significa aquí la "media ponderada". He visto esto una y otra vez cada vez que se menciona la convolución. Según otro artículo sobre funciones ponderadas la "media" debería ser: $$ \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau}{\int_{-\infty}^{+\infty} g(t-\tau)d\tau}. $$

¿Podría alguien aclararlo?

Answer 1

Algunas de las convoluciones más importantes (con núcleo de calor o núcleo de Poisson) implican funciones no negativas $g$ con $\int g=1$ , en cuyo caso media ponderada es una descripción precisa. En general, suma ponderada sería mejor. Por otra parte, sigue siendo una media ponderada (si $g\ge 0$ ), hasta un factor constante. En un contexto en el que un factor constante no es importante (por ejemplo, uno está interesado en el comportamiento asintótico, o en la suavidad de $f*g$ ) no es de extrañar que la distinción "media ponderada" / "suma ponderada" sea borrosa.