Cuando estaba en el instituto, había probado que $$\sin^2(x)-\sin^2(y)=\sin(x-y)\sin(x+y) $$
Creo que es hermoso ya que se asemeja a la identidad $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .
Pero no puedo encontrarlo en las fuentes, creo que debe ser conocido (por supuesto, no es algo notable sólo beatuful)
Si alguien lo encuentra en algún sitio, yo también se lo agradecería.
Aquí está la prueba:
$$\sin(x+y)\sin(x-y)=(\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y))(\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y))$$ $$=\sin^2(x)\cos^2(y)-\cos^2(x)\sin^2(y)$$ $$=\sin^2(x)\cos^2(y)-\sin^2(y)(1-\sin^2(x))$$ $$=\sin^2(x)\cos^2(y)-\sin^2(y)+\sin^2(x)sin^2(y)$$ $$=\sin^2(x)(\cos^2(y)+\sin^2(y))-\cos^2(y)) $$ $$=\sin^2(x)-\sin^2(y)$$ Si ya se sabe, no será una sorpresa para mí. Espero que te guste esto.
