Grupo de clases de mapeo de anillos

Question

Estudié la construcción del grupo de clases de mapeo para un anillo, principalmente a partir de "Una cartilla de grupo de clases de mapeo" (Página 51-52 https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/farbmarg.pdf ). Sin embargo, necesito más detalles para que tenga sentido lo que allí se explica, y he encontrado otra bonita construcción similar en el siguiente documento https://www3.nd.edu/~andyp/teaching/2014SpringMath541/TorelliBook.pdf en la página 6.

La idea es construir una forma de isomorfismo de grupo $$\mbox{Mod}(\mathbb{A}) \rightarrow \mathbb{Z}.$$ La construcción mediante espacios de cobertura universales y la elevación de un mapa. La construcción y la subjetividad del homomorfismo de grupo pueden ser comprensibles. Sin embargo, la inyectividad es un reto. Ambas fuentes mencionan la transformación de cubierta, y la comutatividad de la transformación de cubierta y la homotopía que permite proyectar la homotopía en el espacio de cobertura al anillo $\mathbb{A}.$

En concreto, no puedo entender la discusión sobre la inyectividad que se menciona en ambas fuentes (para el libro de introducción, el último párrafo de la página 51, para el segundo documento, el párrafo sobre la inyectividad en la parte inferior de la página 6). Por otra parte, es difícil encontrar un libro de topología algrbraica que haga la relación entre la transformación de la cubierta y la homotopía.

La construcción es bastante larga y detallada, por lo que pido disculpas por no escribirla toda aquí, pero remite a la referencia en su lugar (prefiero la notación y la construcción explicada en el 2º https://www3.nd.edu/~andyp/teaching/2014SpringMath541/TorelliBook.pdf ).

Con la notación utilizada en el segundo documento (página 6), ¿alguien puede ayudar a señalar por qué "la homotopía de línea recta de $$\tilde{H} \ \mbox{ to id}$$ conmuta con el grupo de cubierta" y por qué "este hecho permite proyectar la isotopía sobre el espacio de cobertura anterior, la franja infinita $\tilde{\mathbb{A}} = \mathbb{R} \times [0,1],$ hasta el anillo espacial inferior $\mathbb{A}$ " ?

Muchas gracias.

Además, si hay una buena referencia de libros de topología algebraica que traten sobre la transformación de la cubierta y el levantamiento/proyección de la homotopía/isotopía, por favor deja la lista en el comentario.

Answer 1

Esta respuesta utilizará la notación del libro de Andy Putman, su segunda fuente.

No estoy seguro de lo que quieres decir con "la relación entre las transformaciones de la cubierta y la homotopía" si no puedes encontrarla en los libros de texto de Topología Algebraica. En particular, Hatcher tiene todos los datos que utilizo. La idea es que las transformaciones de cubierta son automorfismos del mapa de cobertura, por lo que deberían ser compatibles (en un sentido adecuado) con cualquier definición que implique la cobertura.

De forma más explícita, $\tilde H$ conmuta con la transformación de la cubierta $z \mapsto z+n$ ya que $\tilde H(z) + n$ y $\tilde H(z+n)$ son ambas elevaciones de $H$ ese mapa $0$ a $n$ . Por lo tanto, $\tilde H_t$ se desplaza con $z \mapsto z+n$ desde $$\tilde H_t(z+n) = (1-t) \tilde H(z+n) + t (z+n) = (1-t)(\tilde H(z) + n) + t(z+n) =\tilde H_t(z) + n.$$

Pero esto significa que $p (\tilde H_t(z))$ depende sólo de $p(z)$ y no su ascensor $z$ Así que $H_t(p(z)) = p (\tilde H_t(z))$ está bien definida. Debería ser sencillo comprobar que se trata de una homotopía de $H$ a $\mathrm{id}$ .