Utilizando $\ln (\cos x)=\frac{-x^2}{2}-\frac{x^4}{12}+...$ , aproximado $\ln 2$ en términos de $\pi$

Question

Utilizando $f(x)=\ln (\cos x)=\dfrac{-x^2}{2}-\dfrac{x^4}{12}+\dots $ , aproximado $\ln 2$ en términos de $\pi$ .

Lo sé. $\cos(x)$ nunca será dos - así que ¿qué puedo sustituir en realidad para obtener algo en términos de pi?

Answer 1

Observe que el logaritmo natural tiene una propiedad útil $$\ln\left(a^b\right)=b\ln(a)$$ Así que, de hecho, sólo tenemos que obtener un valor de coseno que sea un exponente de $2$ para aproximar $\ln(2)$ .

También hay que tener en cuenta que $$\cos\left(\frac \pi 4\right)=\frac {1}{\sqrt{2}}$$