Dejemos que ${a_n}$ sea una secuencia monótona decreciente. y Sea ${b_n}$ sea una secuencia monótona creciente.
Se da que para cada $n:$
$$b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$$
Demuestra que ambas secuencias convergen al mismo límite.
haciendo algo de álgebra, usando el hecho de que: $a_{n+1}\le a_n$ y $b_n \le b_{n+1}$ Tengo que la siguiente desigualdad:
$b_n \le b_{n+1} \le a_{n+1} \le a_n$ .
ahora para demostrar que $a_n$ y $b_n$ convergen al mismo límite pensé en usar el Lemma de Cantor. pero hay una cosa más que necesito demostrar primero, que es que: $\lim \limits_{n \to \infty}$ $(a_n - b_n)=0$ .
¿tenéis alguna pista de cómo hacerlo?
